Precalculus

Eine logistische Funktion ist eine Form der Sigmoidfunktion, die typischerweise bei der Modellierung des Bevölkerungswachstums zu finden ist (siehe unten). Hier ist der Graph einer typischen logistischen Funktion: Der Graph beginnt bei einer Grundbevölkerung und wächst fast exponentiell, bis er sich der von seiner Umgebung auferlegten Populationsgrenze nähert. Es ist zu beachten, dass logistische Modelle auch in einer Vielzahl anderer Bereiche verwendet werden (z. B. Analyse neuronaler Netze usw.), die Wachstumsmodellanwendung ist jedoch wahrscheinlich am einfachsten zu visualisieren. Weiterlesen »

Eine arithmetische Folge ist eine Folge (Liste von Zahlen), die eine gemeinsame Differenz (eine positive oder negative Konstante) zwischen den aufeinander folgenden Termen aufweist. Hier einige Beispiele für arithmetische Sequenzen: 1.) 7, 14, 21, 28, weil der gewöhnliche Unterschied 7 ist. 2.) 48, 45, 42, 39, weil er den allgemeinen Unterschied von - 3 hat. Das Folgende sind keine Beispiele für Arithmetische Sequenzen: 1.) 2,4,8,16 ist nicht darauf zurückzuführen, dass der Unterschied zwischen dem ersten und dem zweiten Term 2 ist, sondern der Unterschied zwischen dem zweiten und dem dritten Term Weiterlesen »

Eine Asymptote ist ein Wert einer Funktion, der Sie sehr nahe kommen können, aber Sie können ihn niemals erreichen. Nehmen wir die Funktion y = 1 / x graph {1 / x [-10, 10, -5, 5]}. Je größer wir x machen, desto näher ist y an 0, aber es wird niemals 0 sein ( x-> oo) In diesem Fall nennen wir die Linie y = 0 (die x-Achse) eine Asymptote. Andererseits kann x nicht 0 sein (Sie können nicht durch 0 teilen). Also ist die Linie x = 0 (die y- Achse) ist eine andere Asymptote. Weiterlesen »

Die geraden Zahlen, die ungeraden Zahlen usw. Eine arithmetische Folge wird aufgebaut, indem eine konstante Zahl (Differenz genannt) nach dieser Methode hinzugefügt wird. A_1 ist das erste Element einer arithmetischen Folge, a_2 ist per Definition a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d usw. Beispiel 1: 2,4,6,8,10,12, ... ist eine arithmetische Folge, da zwischen zwei aufeinander folgenden Elementen (in diesem Fall 2) ein konstanter Unterschied besteht. Beispiel 2: 3,13 , 23,33,43,53, ... ist eine arithmetische Folge, da zwischen zwei aufeinander folgenden Elementen (in diesem Fall 10) eine konstante Differenz besteht. Beispiel Weiterlesen »

Angenommen, Sie haben eine Funktion, die durch f (x) = Ax ^ 2 + Bx + C dargestellt wird. Wir können die quadratische Formel verwenden, um die Nullen dieser Funktion zu finden, indem Sie f (x) = Ax ^ 2 + Bx + C = setzen 0. Technisch können wir auch komplexe Wurzeln dafür finden, aber normalerweise wird man gebeten, nur mit echten Wurzeln zu arbeiten. Die quadratische Formel wird dargestellt als: (-B + - sqrt (B ^ 2-4AC)) / (2A) = x ... wobei x die x-Koordinate der Nullstelle darstellt. Wenn B ^ 2 -4AC <0, werden wir uns mit komplexen Wurzeln befassen, und wenn B ^ 2 - 4AC> = 0 ist, haben wir echte Wurze Weiterlesen »

Mit der Exponentialfunktion wird eine Beziehung modelliert, in der eine konstante Änderung der unabhängigen Variablen die gleiche proportionale Änderung der abhängigen Variablen ergibt. Die Funktion wird oft als exp (x) geschrieben. Sie wird häufig in Physik, Chemie, Ingenieurwissenschaften, mathematischer Biologie, Wirtschaft und Mathematik verwendet. Weiterlesen »

Eine Ungleichung ist einfach eine Gleichung, bei der Sie (wie der Name schon sagt) kein Gleichheitszeichen haben. Vielmehr handelt es sich bei Ungleichheiten um mehr oder weniger neblige Vergleiche. Lassen Sie mich ein reales Beispiel verwenden, um dies zu vermitteln. Sie kaufen 300 Hühner, die Sie heute Abend für eine Party in Ihrem Restaurant kochen werden. Ihr gegenüberliegender Rivale Joe betrachtet Ihren Kauf und antwortet "tut tut, immer noch viel weniger als das, was ich habe", und geht mit einem Grinsen davon. Wenn wir dies mathematisch mit einer Ungleichung dokumentieren würden, w Weiterlesen »

Ein irreduzibles Polynom kann nicht in einfachere (niedrigere) Polynome mit den Koeffizienten eingeteilt werden, die Sie verwenden dürfen, oder ist überhaupt nicht faktorisierbar. Polynome in einer einzelnen Variablen x ^ 2-2 sind über QQ nicht reduzierbar. Bei rationalen Koeffizienten gibt es keine einfacheren Faktoren. x ^ 2 + 1 ist über RR nicht reduzierbar. Bei den Real-Koeffizienten gibt es keine einfacheren Faktoren. Die einzigen Polynome in einer einzigen Variablen, die über CC nicht reduzierbar sind, sind lineare. Polynome in mehr als einer Variablen Wenn Sie ein Polynom in zwei Variablen m Weiterlesen »

Eine stückweise stetige Funktion ist eine Funktion, die nur in einer begrenzten Anzahl von Punkten in ihrem Bereich kontinuierlich ist. Beachten Sie, dass die Diskontinuitätspunkte einer stückweise kontinuierlichen Funktion keine entfernbaren Diskontinuitäten sein müssen. Das heißt, wir brauchen nicht, dass die Funktion kontinuierlich gemacht werden kann, indem Sie sie an diesen Punkten neu definieren. Es reicht aus, wenn diese Punkte von der Domäne ausgeschlossen werden, die Funktion in der eingeschränkten Domäne fortlaufend ist. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion: s (x) Weiterlesen »

Ein Modifizierer für eine reelle Zahl einer Variablen in einem Ausdruck. Ein "Koeffizient" ist ein beliebiger Änderungswert, der einer Variablen durch Multiplikation zugeordnet ist. Eine "reelle" Zahl ist eine beliebige nicht imaginäre Zahl (eine Zahl multipliziert mit der Quadratwurzel der negativen Zahl). Außer beim Umgang mit komplexen Ausdrücken, die imaginäre Zahlen enthalten, ist so ziemlich jeder "Faktor", den Sie mit einer Variablen in einem Ausdruck sehen, ein "reeller Zahlenkoeffizient". Weiterlesen »

Ein Limit auf der linken Seite bedeutet das Limit einer Funktion, wenn sie sich von der linken Seite nähert. Auf der anderen Seite bedeutet eine rechte Grenze die Grenze einer Funktion, wenn sie sich von rechts nähert. Wenn Sie die Grenze einer Funktion erreichen, während sie sich einer Zahl nähert, besteht die Idee darin, das Verhalten der Funktion zu überprüfen, wenn sie sich der Zahl nähert. Wir ersetzen Werte so nahe wie möglich an der angefahrenen Anzahl. Die nächstgelegene Nummer ist die Nummer, an die man sich nähert. Daher ersetzt man normalerweise nur die angefahre Weiterlesen »

Aus einer Richtung kommend sieht es so aus, als hätten wir ein Maximum erreicht, aber aus einer anderen Richtung sieht es so aus, als hätten wir ein Minimum erreicht. Hier sind 3 Graphen: y = x ^ 4 hat ein Minimum bei x = 0 Graphen {y = x ^ 4 [-12.35, 12.96, -6.58, 6.08]} y = -x ^ 2 hat ein Maximum bei x = 0 Graphen {-x ^ 2 [-12.35, 12.96, -6.58, 6.08]} y = x ^ 3 hat einen Sattelpunkt im Diagramm x = 0 {x ^ 3 [-12.35, 12.96, -6.58, 6.08]} links sieht es aus wie ein Maximum, aber von rechts sieht es aus wie ein Minimum. Hier ist noch ein weiterer Vergleich: y = -x ^ 5 graph {-x ^ 5 [-10.94, 11.56, -5.335, 5.92]} Weiterlesen »

Sie könnten aufgefordert werden, die Summe der ersten n Natural-Zahlen zu ermitteln. Dies bedeutet die Summe: S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... Wir schreiben dies in Kurzsummationsnotation als; sum_ (r = 1) ^ n r Dabei ist r eine "Dummy" -Variable. Und für diese bestimmte Summe können wir die allgemeine Formel finden, die lautet: sum_ (r = 1) ^ nr = 1 / 2n (n + 1). Wenn zum Beispiel n = 6 Dann gilt: S_6 = sum_ (r = 1) ^ 6 r = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Wir können durch direkte Berechnung Folgendes bestimmen: S_6 = 21 Oder verwenden Sie die Formel, um zu erhalten: S_6 = 1/2 (6) (6 + 1) = (6xx7) / 2 = 21 Weiterlesen »

Ein Streudiagramm ist einfach eine Grafik mit zufälligen Koordinaten. Wenn wir mit realen Daten arbeiten, stellen wir oft fest, dass diese (um informell zu sein) ziemlich zufällig sind. Im Gegensatz zu den Daten, die Sie normalerweise bei mathematischen Problemen erhalten, haben Sie keinen genauen Trend und können sie nicht mit einer einzigen Gleichung wie y = 2x + 4 dokumentieren. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Diagramm: Wenn Sie feststellen, haben die Punkte keinen genauen Trend, dem sie folgen. Zum Beispiel haben einige Punkte den gleichen x-Wert (untersuchte Stunden), jedoch unterschiedliche Weiterlesen »

Ein Polynom zweiten Grades ist ein Polynom P (x) = ax ^ 2 + bx + c, wobei a! = 0 Ein Grad eines Polynoms ist die höchste Potenz der Unbekannten mit Nicht-Null-Koeffizienten, daher ist das Polynom zweiten Grades eine Funktion in Form von: P (x) = ax ^ 2 + bx + c für ein beliebiges a in RR- {0}; b, c in RR-Beispiele P_1 (x) = 2x ^ 2-3x + 7 - Dies ist ein Polynom zweiten Grades P_2 (x) = 3x + 7 - Dies ist kein Polynom zweiten Grades (es gibt kein x ^ 2) P_3 (x) = x ^ 2-1 - Dies ist ein Polynom zweiten Grades (b oder c kann Null sein) P_4 (x) = x ^ 2-1 / x - dies ist kein Polynom (x ist im Nenner nicht erlaubt) Weiterlesen »

Die Einheitsmatrix ist jede nxn Quadratmatrix, die sich aus allen Nullen zusammensetzt, mit Ausnahme der Elemente der Hauptdiagonale, die alle Einsen sind. Zum Beispiel: Es wird als I_n angegeben, wobei n die Größe der Einheitsmatrix darstellt. Die Unity-Matrix in der linearen Algebra funktioniert ein bisschen wie die Zahl 1 in der normalen Algebra. Wenn Sie also eine Matrix mit der Einheitsmatrix multiplizieren, erhalten Sie die gleiche Ausgangsmatrix! Weiterlesen »

Ein Vektor hat Größe und Richtung. Ein Skalar hat dagegen einfach eine Größenordnung. Die Geschwindigkeit ist als Vektor definiert. Die Geschwindigkeit ist dagegen als Skalar definiert. Da Sie nicht angegeben haben, kann ein Vektor so einfach wie ein 1D-Vektor sein, der entweder positiv oder negativ ist. Ein Vektor kann bei Verwendung von 2D komplizierter sein. Der Vektor kann als kartesische Koordinaten angegeben werden, z. B. (2, -3). Oder es kann als Polarkoordinate angegeben werden, z. B. (5, 215 Grad). In kann mit kartesischen Koordinaten, Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder anderen in 3D no Weiterlesen »

Eine Null einer Funktion ist eine Interception zwischen der Funktion selbst und der X-Achse. Die Möglichkeiten sind: keine Null (zB y = x ^ 2 + 1) graph {x ^ 2 +1 [-10, 10, -5, 5]} eine null (zB y = x) graph {x [-10, 10, -5, 5]} zwei oder mehr Nullen (zy = x ^ 2-1) graph {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} unendliche Nullen (zB y = sinx) graph {sinx [-10, 10, -5, 5]} Um die eventuellen Nullen einer Funktion zu finden, muss das Gleichungssystem zwischen der Gleichung der Funktion und der Gleichung der X-Achse (y = 0) gelöst werden. Weiterlesen »

Cramers Regel. Diese Regel basiert auf der Manipulation der Determinanten der Matrizen, die den numerischen Koeffizienten Ihres Systems zugeordnet sind. Sie wählen einfach die Variable aus, nach der Sie suchen möchten, ersetzen die Wertespalte dieser Variablen in der Koeffizientendeterminante durch die Werte der Antwortspalte, werten diese Determinante aus und dividieren durch die Koeffizientendeterminante. Es funktioniert mit Systemen mit einer Anzahl von Gleichungen, die der Anzahl der Unbekannten entspricht. es funktioniert auch gut bis zu Systemen von 3 Gleichungen in 3 Unbekannten. Mehr als das, und Sie habe Weiterlesen »

Die Lösung ist x in (-oo, 0] uu (2, + oo). Lassen Sie f (x) = x / (x-2) eine Zeichengrafikfarbe (weiß) (aaaa) xcolor (weiß) (aaaa) erstellen. oocolor (weiß) (aaaaaaa) 0color (weiß) (aaaaaaaa) 2color (weiß) (aaaaaa) + oo Farbe (weiß) (aaaa) xcolor (weiß) (aaaaaaaa) -Farbe (weiß) (aaaa) 0color (weiß) ( aaaa) + farbe (weiß) (aaaaa) + farbe (weiß) (aaaa) x-2 farbe (weiß) (aaaaa) -farbe (weiß) (aaaa) # farbe (weiß) (aaaaa) # - farbe (weiß) ( aa) Farbe (weiß) (aa) + Farbe (weiß) (aaaa) f (x) Farbe (weiß) (aaaaaa) + Farbe (weiß) (a Weiterlesen »

X = -4 y = 0 Betrachten Sie dies als übergeordnete Funktion: f (x) = (Farbe (rot) (a) Farbe (blau) (x ^ n) + c) / (Farbe (rot) (b) Farbe ( blau) (x ^ m) + c) C-Konstanten (normale Zahlen) Nun haben wir unsere Funktion: f (x) = - (7) / (Farbe (rot) (1) Farbe (blau) (x ^ 1) + 4) Es ist wichtig, sich die Regeln für das Finden der drei Arten von Asymptoten in einer rationalen Funktion zu merken: Vertikale Asymptoten: Farbe (blau) ("Nenner setzen = 0"). Horizontale Asymptoten: Farbe (blau) ("Nur wenn" n = m.) , "was ist der Grad." "Wenn" n = m, "dann ist die HA" Farbe Weiterlesen »

Siehe die Erklärung. Informelles Sprechen: "Es ist eine Funktion der Funktion". Wenn Sie eine Funktion als Argument der anderen Funktion verwenden, sprechen wir von der Zusammensetzung der Funktionen. f (x) diamant g (x) = f (g (x)) wobei diamant das zusammensetzungszeichen ist. Beispiel: Sei f (x) = 2x-3, g (x) = - x + 5. Dann: f (g (x)) = f (-x + 5) Wenn wir ersetzen: -x + 5 = t => x = 5 - t fdiamondg = f (t) = 2 (5-t) + 3 = 10-2t + 3 = 13-2t fdiamondg = 13-2x Sie können jedoch g (f (x)) g (f (x)) = g (2x-3) 2x-3 = t => x = finden (t + 3) / 2 gdiamondf = g (t) = - ((t + 3) / 2) + 5 = -t / 2 + 7/ Weiterlesen »

Die Gauss-Jordan-Eliminierung ist eine Technik zum Lösen eines Systems linearer Gleichungen unter Verwendung von Matrizen und drei Zeilenoperationen: Zeilen wechseln Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Konstanten. Fügen Sie ein Vielfaches einer Zeile zu einem anderen hinzu. Lösen wir das folgende lineare Gleichungssystem. {(3x + y = 7), (x + 2y = -1):}, indem das System in die folgende Matrix umgewandelt wird. Rightarrow ((3 - 1 - 7), (1 - 2 - -1)) durch Umschalten von Zeile 1 und Zeile 2, Rightarrow ((1 - 2 - -1)) (3) 1 "" 7)) durch Multiplizieren von Zeile 1 mit -3 und Addieren zu Zeile 2, Re Weiterlesen »

X ^ 2/3 und ja Ersetze x durch f (x) und umgekehrt und löse nach x. sqrt (3 * f (x)) = x 3 * f (x) = x ^ 2 f (x) = x ^ 2/3 Da jeder Wert für x einen eindeutigen Wert für y hat und jeder Wert für x ay hat Wert ist es eine Funktion. Weiterlesen »

Y = 1 Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu lösen. 1. Grenzen: y = lim_ (xto + -oo) (ax + b) / (cx + d) = a / c, daher tritt eine horizontale Asymptote auf, wenn y = 1/1 = 1 ist. 2. Invers: Nehmen wir die Umkehrung von f (x), weil die x- und y-Asymptoten von f (x) die y- und x-Asymptoten für f ^ -1 (x) x = (y-3) / (y + 5) xy + 5x = y sind -3 xy-y = -5x-3y (x-1) = -5x-3y = f ^ -1 (x) = - (5x + 3) / (x-1) Die vertikale Asymptote ist dieselbe wie bei Die horizontale Asymptote von f (x) Die vertikale Asymptote von f ^ -1 (x) ist x = 1, daher ist die horizontale Asymptote von f (x) y = 1 Weiterlesen »

Die Antwort ist 1. Wenn Sie dies in exponentieller Form neu schreiben würden (siehe Abbildung unten), würden Sie 10 ^ erhalten? = 10. Und wir wissen, dass 10 ^ 1 uns 10 ergibt. Daher lautet die Antwort 1. Wenn Sie mehr über die Funktionsweise von Logarithmen erfahren möchten, schauen Sie sich bitte dieses Video an oder schauen Sie sich diese Antwort an, mit der ich zusammengearbeitet habe. Ich hoffe es hilft :) Weiterlesen »

Siehe Antwort unten. Gegeben: Was ist eine lange Aufteilung der Polynome? Die lange Teilung von Polynomen ist der regulären langen Teilung sehr ähnlich. Es kann verwendet werden, um eine rationale Funktion (N (x)) / (D (x)) für die Integration in Calculus zu vereinfachen, um eine geneigte Asymptote in PreCalculus und viele andere Anwendungen zu finden. Dies wird durchgeführt, wenn die Nenner-Polynomfunktion einen niedrigeren Grad als die Zähler-Polynomfunktion hat. Der Nenner kann ein Quadrat sein. Ex. y = (x ^ 2 + 12) / (x - 2) ul (x + 2) x - 2 | x ^ 2 + 0x + 12 ul (x ^ 2 -2x) 2x + 12 ul (2x -4 &q Weiterlesen »

Betrachten Sie zum Beispiel einen Vektor vecv im Weltraum: Wenn Sie ihn beispielsweise einem Freund beschreiben möchten, können Sie sagen, dass er einen "Modul" (= Länge) und Richtung hat (Sie können beispielsweise Nord, Süd, Osten, Westen ... etc.). Es gibt auch eine andere Möglichkeit, diesen Vektor zu beschreiben. Sie müssen Ihren Vektor in einen Referenzrahmen bringen, damit sich einige Zahlen darauf beziehen, und dann nehmen Sie die Koordinaten der Pfeilspitze ... Ihrer KOMPONENTEN! Sie können jetzt Ihren Vektor schreiben als: vecv = (a, b) Zum Beispiel: vecv = (6,4) I Weiterlesen »

Die Tragfähigkeit ist die Grenze von P (t) als t -> infty. Der Begriff "Tragfähigkeit" in Bezug auf eine logistische Funktion wird im Allgemeinen verwendet, wenn die Populationsdynamik in der Biologie beschrieben wird. Angenommen, wir versuchen, das Wachstum einer Schmetterlingspopulation zu modellieren. Wir haben eine logistische Funktion P (t), die die Anzahl der Schmetterlinge zum Zeitpunkt t beschreibt. In dieser Funktion wird ein Begriff verwendet, der die Tragfähigkeit des Systems beschreibt und üblicherweise mit K = "Tragfähigkeit" bezeichnet wird. Wenn die Anzahl der Weiterlesen »

Angenommen, wir haben eine quadratische Matrix, dann ist die Determinante der Matrix die Determinante mit den gleichen Elementen. ZB wenn wir eine 2xx2-Matrix haben: bb (A) = ((a, b), (c, d)) Die zugehörige Determinante, die durch D = | gegeben wird bb (A) | = | (a, b), (c, d) | = ad-bc Weiterlesen »

Die Grenze einer unendlichen Sequenz zeigt uns das langfristige Verhalten der Sequenz. Wenn eine reelle Zahl von reinen Zahlen a_n gegeben ist, ist es limit lim_ (n bis oo). A_n = lim a_n ist definiert als der einzelne Wert, dem die Sequenz nähert (wenn sie sich einem beliebigen Wert nähert), wenn der Index n größer wird. Das Limit einer Sequenz existiert nicht immer. Wenn dies der Fall ist, spricht man von einer konvergenten Sequenz, ansonsten von einer abweichenden. Zwei einfache Beispiele: Betrachten Sie die Sequenz 1 / n. Es ist leicht zu erkennen, dass das Limit 0 ist. In der Tat können wir be Weiterlesen »

Naive Gaußsche Eliminierung ist die Anwendung der Gaußschen Eliminierung zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Annahme, dass Pivotwerte niemals Null sein werden. Die gaußsche Ausscheidung versucht, ein System linearer Gleichungen aus einer Form wie: Farbe (weiß) ("XXX") ((a_ (1,1), a_ (1,2), a_ (1,3), "..") zu konvertieren. . ", a_ (1, n)), (a_ (2,1), a_ (2,2), a_ (2,3)," ... ", a_ (2, n)), (a_ ( 3,1), a_ (3,2), a_ (3,3), "...", a_ (3, n)), ("...", "...", "... "," ... "," ... "), (a_ (n, 1), a_ (n Weiterlesen »

Wenden Sie einfach die Formel x = (- b (+) oder (-) (b ^ 2-4 * a * c) ^ (1/2)) / (2 * a) an, wobei die quadratische Funktion a * x ^ 2 ist + b * x + c = 0 In Ihrem Fall: a = 6 b = 12 c = 5 x_ (1) = (- 12+ (12 ^ 2-4 * 6 * 5) ^ (1/2)) / ( 2 × 6) = –0,59 × 2 = (–12- (12 2-4 × 6 × 5) ^ (1/2)) / (2 × 6) = –1,40 Weiterlesen »

Eines der interessantesten Zahlenmuster ist Pascals Dreieck. Es ist nach Blaise Pascal benannt. Um das Dreieck zu erstellen, beginnen Sie immer mit "1" oben und setzen Sie dann fortlaufend Zahlen in einem dreieckigen Muster ein. Jede Zahl besteht aus den beiden Zahlen darüber (außer den Kanten, die alle "1" sind). Interessanter Teil ist folgender: Die erste Diagonale ist nur "1", und die nächste Diagonale hat die Zählzahlen. Die dritte Diagonale hat die dreieckigen Zahlen. Die vierte Diagonale hat die tetraedrischen Zahlen. Viele interessante Dinge zu diesem Thema könn Weiterlesen »

Y = 2x ^ 2-4x-7 Quadratische Gleichung in der Standardform wird wie folgt sein y = ax ^ 2 + bx + c Gegeben - y + 9 = 2 (x-1) ^ 2 y + 9 = 2 (x ^ 2-2x + 1) y + 9 = 2x ^ 2-4x + 2y = 2x ^ 2-4x + 2-9 y = 2x ^ 2-4x-7 Weiterlesen »

9y ^ 2 x ^ 2 4x + 54y + 68 = 0 hat eine Hyperbel für seinen Graphen. Wie soll ich wissen? Eine kurze Überprüfung der Koeffizienten in den Termen x ^ 2 und y ^ 2 ergibt ... 1) Wenn die Koeffizienten sowohl die gleiche Zahl als auch das gleiche Vorzeichen haben, ist die Zahl ein Kreis. 2) Wenn die Koeffizienten unterschiedliche Zahlen sind, jedoch dasselbe Vorzeichen, ist die Figur eine Ellipse. 3) Wenn die Koeffizienten entgegengesetzte Vorzeichen haben, wird der Graph eine Hyperbel sein. Lassen Sie es uns "lösen": -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 Beachten Sie, dass ich die führende Weiterlesen »

Wie oft ist dieselbe Form zu sehen, wenn eine Figur um 360 ° gedreht wird. Symmetrie bedeutet, dass es um zwei Figuren Gleichheit gibt. Es gibt zwei Arten von Symmetrie - Liniensymmetrie und Rotationssymmetrie. Liniensymmetrie bedeutet, wenn Sie eine Linie durch die Mitte einer Figur zeichnen, ist die eine Seite ein Spiegelbild der anderen. Rotationssymmetrie ist die Symmetrie des Drehens. Wenn Sie eine Form um 360 ° drehen, wird die identische Form während der Drehung manchmal wieder angezeigt. Dies wird Rotationssymmetrie genannt. Ein Quadrat hat zum Beispiel vier Seiten, aber das Quadrat sieht genauso aus Weiterlesen »

Einfach die Multiplikation eines Skalars (im Allgemeinen eine reelle Zahl) mit einer Matrix. Die Multiplikation einer Matrize M der Einträge m_ (ij) mit einem Skalar a ist als Matrix der Einträge a m_ (ij) definiert und wird mit aM bezeichnet. Beispiel: Nehmen Sie die Matrix A = ((3,14), (- 4,2)) und den Skalar b = 4. Dann ist das Produkt bA des Skalars b und der Matrix A die Matrix bA = ((12,56) ), (- 16,8)) Diese Operation hat sehr einfache Eigenschaften, die denen der reellen Zahlen entsprechen. Weiterlesen »

Zentrum ist (5, -3) und der Radius ist 4. Wir müssen diese Gleichung in der Form (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 schreiben. Dabei sind (a, b) die Koordinaten des Mittelpunkts von der Kreis und der Radius ist r. Also ist die Gleichung x ^ 2 + y ^ 2 -10x + 6y +18 = 0 Füllen Sie die Quadrate aus, und addieren Sie 25 auf beiden Seiten der Gleichung x ^ 2 + y ^ 2 -10x + 25 + 6y +18 = 0 + 25 = (x-5) ^ 2 + y ^ 2 + 6y +18 = 0 + 25 Fügen Sie nun 9 auf beiden Seiten hinzu (x-5) ^ 2 + y ^ 2 + 6y +18 + 9 = 0 + 25 + 9 = (x-5) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 +18 = 0 + 25 + 9 Dies wird zu (x-5) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 16 Wir können also se Weiterlesen »

Summation ist eine Abkürzung für lange Ergänzungen. Angenommen, Sie möchten alle Zahlen bis einschließlich 50 hinzufügen. Dann könnten Sie schreiben: 1 + 2 + 3 + ...... + 49 + 50 (Wenn Sie dies wirklich vollständig ausschreiben, wird es eine sein lange Reihe von Zahlen). Mit dieser Schreibweise würden Sie schreiben: sum_ (k = 1) ^ 50 k Bedeutung: summiere alle Zahlen k von 1 bis 50 Das Sigma- (Sigma) -Zeichen ist der griechische Buchstabe für S (Summe). Ein anderes Beispiel: Wenn Sie alle Quadrate von 1 bis 10 hinzufügen möchten, schreiben Sie einfach: sum_ (k = 1 Weiterlesen »

Die synthetische Division ist eine Möglichkeit, ein Polynom durch einen linearen Ausdruck zu teilen. Nehmen wir an, unser Problem ist folgendes: y = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x-6 Nun wird die synthetische Division hauptsächlich verwendet, um die Wurzeln oder Lösungen einer Gleichung zu finden. Der Prozess hierfür dient dazu, die zu messende Berechnung zu reduzieren, um einen Wert von x zu finden, der die Gleichung gleich 0 macht. Listen Sie zunächst die möglichen rationalen Wurzeln auf, indem Sie die Faktoren der Konstanten (6) über der Liste von auflisten die Faktoren des Leitkoeffizienten (1). Weiterlesen »

3. Ausdruck = - 9f ^ 2 Wenn Sie den Ausdruck in absteigender Reihenfolge anordnen möchten, müssen Sie den Ausdruck zuerst mit der höchsten, dann mit der nächsthöheren Potenz usw. beginnen, bis Sie den niedrigsten Wert erreicht haben. Wenn es einen konstanten Begriff gab, dann wäre es der niedrigste, aber es gibt keinen hier. Umschreiben des Ausdrucks in absteigender Reihenfolge: 16f ^ 4 + 4f ^ 3 - 9f ^ 2 + 19f rArr 3. Term = -9f ^ 2 Weiterlesen »

| x-h | = k bedeutet, welche Zahlen x von h entfernt sind. Nur als Funktion gilt | x | ist der Wert von x ohne Vorzeichen, also der Abstand zwischen 0 und x. Zum Beispiel | 5 | = 5 und | "-" 5 | = 5. In einer Gleichung bedeutet | x-h | = k, welche Zahlen x von h entfernt sind. Wenn Sie beispielsweise | x-3 | = 5 für x lösen, werden Sie gefragt, welche Zahlen 5 von 3 entfernt sind: Die Antworten lauten intuitiv 8 (3 + 5) und -2 (3-5). Das Einstecken dieser Zahlen für x bestätigt ihre Richtigkeit. Weiterlesen »

Es gibt zwei Hauptvorteile: Linearisierung und einfache Berechnung / Vergleichung, wobei der erstere mit dem zweiten verbunden ist. Die einfachere Erklärung ist die Leichtigkeit der Berechnung / des Vergleichs. Das logarithmische System, von dem ich denke, dass es einfach zu erklären ist, ist das pH-Modell, das den meisten Menschen zumindest vage bewusst ist. Das p in pH ist eigentlich ein mathematischer Code für "minus log of", also ist pH eigentlich -log [H Und dies ist nützlich, weil in Wasser das H oder die Konzentration an freien Protonen (je mehr, desto saurer) normalerweise zwischen 1 M Weiterlesen »

Wenn Sie das Quadrat komplettieren, wie in diesem Fall, ist es nicht schwer. Es ist auch leicht, den Scheitelpunkt zu finden. (x + 3) bedeutet, dass die Parabel im Vergleich zur Standardparabel y = x ^ 2 um 3 nach links verschoben ist (weil x = -3 (x + 3) = 0 sein würde) [Sie wird auch um 6 nach unten verschoben und das Minuszeichen vor dem Quadrat bedeutet, dass es verkehrt herum ist, aber das hat keinen Einfluss auf die Symmetrieachse.] Die Symmetrieachse liegt also bei x = -3. Und der Scheitelpunkt ist (-3, -6). - (x + 3) ^ 2-6 [-16,77, 15,27, -14,97, 1,05]} Weiterlesen »

"Realteil" = 0,08 * e ^ 4 "und Imaginärteil" = 0,06 * e ^ 4 exp (a + b) = e ^ (a + b) = e ^ a * e ^ b = exp (a) * exp (b) exp (i theta) = cos (theta) + i sin (theta) => e ^ (2 + i * pi / 2) = e ^ 2 * exp (i * pi / 2) = e ^ 2 * (cos (pi / 2) + i sin (pi / 2)) = e ^ 2 * (0 + i) = e ^ 2 * i 1 / (1 + 3i) = (1-3i) / ((1- 3i) (1 + 3i)) = (1-3i) / 10 = 0,1 - 0,3 i Wir haben also (e 2 * i * (0,1 - 0,3 i)) 2 = e ^ 4 * (-1) ) * (0,1-0,3 * i) ^ 2 = - e ^ 4 * (0,01 + 0,09 * i ^ 2 - 0,1 * 0,3 * i) = - e ^ 4 * (-0,08 - 0,06 * i) = e ^ 4 (0,08 + 0,06 * i) => "Realteil" = 0,08 * e ^ 4 "und Ima Weiterlesen »

= 360 * a ^ 7 * b * c ^ 2 + 840 * a ^ 6 * b ^ 3 * c + 252 * a ^ 5 * b ^ 5 Name p (x) = b * x + c * x ^ 2 = x (b + c * x) "Dann haben wir" (a + p (x)) ^ 10 = sum_ {i = 0} ^ {i = 10} C (10, i) * a ^ (10- i) * p (x) ^ i = sum_ {i = 0} ^ {i = 10} C (10, i) * a ^ (10-i) * x ^ i * (b + c * x) ^ i "mit C (n, k) = (n!) / ((nk)! k!)" (Kombinationen) "= Summe_ {i = 0} ^ {i = 10} C (10, i) * a ^ (10-i) * x ^ i * [sum_ {j = 0} ^ {j = i} C (i, j) * b ^ (ij) * (c * x) ^ j] "Koeffizient von" x ^ 5 bedeutet, dass i + j = 5 => j = 5-i ist. => C5 = sum_ {i = 0} ^ {i = 5} C (10, i) * C (i, 5-i) * a ^ Weiterlesen »

(r, theta) (2, pi / 6) (x, y) (rcos (theta), rsin (theta)) Substitution in r und Theta (x, y) (2cos (pi / 6) ), 2sin (pi / 6)) Denken Sie an den Einheitskreis und die speziellen Dreiecke zurück. pi / 6 = 30 ^ circ cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2 sin (pi / 6) = 1/2 Ersetzen Sie diese Werte. (x, y) -> (2 * sqrt (3) / 2,2 * 1/2) (x, y) -> (sqrt (3), 1) Weiterlesen »

Zentrum (x, y) = (2, -5) Radius: Quadrat (14) 2 (x-2) ^ 2 + 2 (y + 5) ^ 2 = 28 Farbe (weiß) ("XXX") ist äquivalent zu (x-2) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 = 14 (nach Division durch 2) oder (x-2) ^ 2 + (y - (- 5)) ^ 2 = (sqrt (14)) ^ 2 Jede Gleichung der Formfarbe (weiß) ("XXX") (xa) ^ 2 + (yb) 2 = r ^ 2 ist ein Kreis mit Mittelpunkt (a, b) und Radius r. Die gegebene Gleichung ist also ein Kreis mit Mitte (2, -5) und Radiusquadrat (14), Graph {2 (x-2) ^ 2 + 2 (y + 5) ^ 2 = 28 [-7,78, 10, -8,82, 0,07]} Weiterlesen »

Farbe (kastanienbraun) ("kartesisches Äquivalent" (x, y) = (4,9) r, Theta = sqrt97, 66 ^ @ x = r cos theta = sqrt97 cos 66 ~ 4 y = r sin theta = sqrt97 sin 66 ~~ 9 Weiterlesen »

Center = (2, 5) und r = 10> Die Standardform der Kreisgleichung lautet: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 wobei (a, b) der ist Mitte und r der Radius. vergleiche mit: (x - 2) ^ 2 + (y - 5) ^ 2 = 100, um a = 2, b = 5 und r = sqrt100 = 10 zu erhalten Weiterlesen »

Center = (- 9, 6) und r = 12> Die allgemeine Form der Gleichung eines Kreises lautet: x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 gegebene Gleichung ist: x ^ 2 + y ^ 2 + 18x - 12y - 27 = 0 Zum Vergleich: 2g = 18 g = 9 und 2f = - 12 f = -6, c = -27 center = (- g, - f) = (- 9, 6) und r = sqrt (g ^ 2 + f ^ 2 - c) = sqrt (9 ^ 2 + (- 6) ^ 2 +27) = 12 Weiterlesen »

Das Zentrum ist (9, -9) mit einem Radius von 5. Schreiben Sie die Gleichung um: x ^ 2 + y ^ 2-18x + 18y + 137 = 0 Das Ziel ist es, etwas zu schreiben, das folgendermaßen aussieht: (xa) ^ 2+ (yb) ^ 2 = r ^ 2 wobei der Mittelpunkt des Kreises (a, b) mit einem Radius von r ist. Wenn wir die Koeffizienten von x, x ^ 2 betrachten, wollen wir schreiben: (x-9) ^ 2 = x ^ 2-18x + 81 Gleiches für y, y ^ 2: (y + 9) ^ 2 = y ^ 2 + 18y + 81 der extra Teil ist 81 + 81 = 162 = 137 + 25 Also: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-18x + 18y + 137 = (x-9) ^ 2 + (y + 9) ^ 2 -25 und so finden wir: (x-9) ^ 2 + (y + 9) ^ 2 = 5 ^ 2 Weiterlesen »

Der Mittelpunkt ist (0, -6) und der Radius ist 7. Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (a, b) und Radius r in Standardform lautet (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2. In diesem Fall ist a = 0, b = -6 und r = 7 (sqrt49). Weiterlesen »

Zentrum: (6, 0) Radius: 7 Ein Kreis um (x_0, y_0) mit dem Radius r hat die Gleichung (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = r ^ 2 Wir können die gegebene Gleichung erstellen Passen Sie diese Form mit einigen geringfügigen Änderungen an: (x-6) ^ 2 + y ^ 2 = 49 => (x-6) ^ 2 + (y-0) ^ 2 = 7 ^ 2 Der Kreis ist also bei (6) zentriert 0) und hat den Radius 7 Weiterlesen »

(4, 4) Der Mittelpunkt eines Kreises, der durch zwei Punkte verläuft, ist von diesen beiden Punkten gleich weit entfernt. Daher liegt es auf einer Linie, die durch den Mittelpunkt der beiden Punkte verläuft, senkrecht zu dem Liniensegment, das die beiden Punkte verbindet. Dies wird als senkrechte Halbierung des Liniensegments bezeichnet, das die beiden Punkte verbindet. Wenn ein Kreis mehr als zwei Punkte durchläuft, ist sein Mittelpunkt der Schnittpunkt der senkrechten Halbierenden von zwei beliebigen Punktpaaren. Die senkrechte Halbierung des Liniensegments, das (-2, 2) und (2, -2) verbindet, ist y = x. Di Weiterlesen »

(3,9) Die Standardform der Gleichung für einen Kreis ist gegeben durch: (x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 Dabei gilt: bbh ist die bbx-Koordinate des Zentrums. bbk ist die bby-Koordinate des Zentrums. bbr ist der Radius. Aus der gegebenen Gleichung können wir sehen, dass das Zentrum bei (h, k) = (3,9) liegt. Weiterlesen »

Der Mittelpunkt des Kreises ist (-5,8). Die Grundgleichung eines Kreises, der auf dem Punkt (0,0) zentriert ist, lautet x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, wenn r der Radius des Kreises ist. Wenn der Kreis zu einem bestimmten Punkt (h, k) wegbewegt wird, wird die Gleichung zu (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 In dem angegebenen Beispiel ist h = -5 und k = 8 Der Mittelpunkt des Kreises ist deshalb (-5,8) Weiterlesen »

Die allgemeine Form ist (x-1) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = (sqrt13) ^ 2. Dies ist die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt (1, -3) und der Radius sqrt13 ist. Da es keinen Ausdruck in der quadratischen Gleichung x ^ 2 + y ^ 2-2x + 6y-3 = 0 gibt und die Koeffizienten von x ^ 2 und y ^ 2 gleich sind, repräsentiert die Gleichung einen Kreis. Lassen Sie uns die Quadrate vervollständigen und sehen Sie die Ergebnisse x ^ 2 + y ^ 2-2x + 6y-3 = 0 hArrx ^ 2-2x + 1 ^ 2 + y ^ 2 + 6y + 3 ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 = 13 oder (x-1) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = (sqrt13) ^ 2 Es ist die Gleichung eines Punktes, der sich so bewegt, dass sein Abs Weiterlesen »

X = (1/2) * 10 ^ (4/3) Annahme des Logarithmus als allgemeiner Logarithmus (mit Basis 10), Farbe (weiß) (xxx) 3log2x = 4 rArr log2x = 4/3 [Transponieren der 3 in RHS] rArr 2x = 10 ^ (4/3) [Gemäß der Definition des Logarithmus] rArr x = (1/2) * 10 ^ (4/3) [Transponierung von 2 nach RHS] Hoffe, das hilft. Weiterlesen »

Hallo ! Sei A = (a_ {i, j}) eine Matrix der Größe n mal n. Wählen Sie eine Spalte aus: die Spaltennummer j_0 (ich schreibe: "die j_0-te Spalte"). Die Cofaktor-Erweiterungsformel (oder Laplace-Formel) für die j_0-te Spalte lautet det (A) = sum_ {i = 1} ^ na_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ { i, j_0} wobei Delta_ {i, j_0} die Determinante der Matrix A ohne ihre i-te Zeile und ihre j_0-te Spalte ist; Daher ist Delta_ {i, j_0} eine Determinante der Größe (n-1) mal (n-1). Beachten Sie, dass die Zahl (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} Cofactor of place (i, j_0) genannt wird. Es sieht vielle Weiterlesen »

Ein gemeinsamer Logarithmus bedeutet, dass der Logarithmus die Basis 10 ist. Um den Logarithmus einer Zahl n zu erhalten, ermitteln Sie die Zahl x, die ergibt, wenn die Basis auf diese Potenz angehoben wird. Der Ergebniswert ist n. Für dieses Problem haben wir log_10 10 = x => 10 ^ x = 10 => 10 ^ x = 10 ^ 1 => x = 1 Daher ist der gemeinsame Logarithmus von 10 1. Weiterlesen »

Log (54.29) ~~ 1.73472 x = log (54.29) ist die Lösung von 10 ^ x = 54.29 Wenn Sie über eine natürliche Protokollfunktion (ln) verfügen, jedoch keine allgemeine Protokollfunktion auf Ihrem Rechner, können Sie log (54.29) mithilfe von suchen Die Änderung der Basisformel: log_a (b) = log_c (b) / log_c (a) Also: log (54.29) = log_10 (54.29) = log_e (54.29) / log_e (10) = ln (54.29) / ln (10) ) Weiterlesen »

Die gegebene geometrische Sequenz ist: 1, 4, 16, 64 ... Das übliche Verhältnis r einer geometrischen Sequenz wird erhalten, indem ein Term durch seinen vorhergehenden Term wie folgt geteilt wird: 1) 4/1 = 4 2) 16/4 = 4 für diese Sequenz das gemeinsame Verhältnis r = 4 Ebenso kann der nächste Term einer geometrischen Sequenz erhalten werden, indem der bestimmte Term mit r multipliziert wird. Beispiel: In diesem Fall ist der Term nach 64 = 64 xx 4 = 256 Weiterlesen »

3 Eine geometrische Sequenz hat ein gemeinsames Verhältnis, dh den Teiler zwischen zwei beliebigen Zahlen nebenan: Sie werden sehen, dass 6 // 2 = 18 // 6 = 54 // 18 = 3 oder mit anderen Worten, mit 3 multiplizieren komm zum nächsten 2 * 3 = 6-> 6 * 3 = 18 -> 18 * 3 = 54 Wir können also vorhersagen, dass die nächste Zahl 54 * 3 = 162 ist. Wenn wir die erste Zahl a (in unserem Fall 2) und die allgemeine Nummer nennen Ratio r (in unserem Fall 3), dann können wir eine beliebige Anzahl der Sequenz vorhersagen. Term 10 wird 2 mal mit 3 9 (10-1) multipliziert. Im Allgemeinen Der n-te Term ist = a.r Weiterlesen »

Das übliche Verhältnis für dieses Problem ist 4. Das übliche Verhältnis ist ein Faktor, der bei der Multiplikation mit dem aktuellen Term zum nächsten Term führt. Erster Term: 7 7 * 4 = 28 Zweiter Term: 28 28 * 4 = 112 Dritter Term: 112 112 * 4 = 448 Vierter Term: 448 Diese geometrische Sequenz kann weiter beschrieben werden durch die Gleichung: a_n = 7 * 4 ^ (n -1) Wenn Sie also den 4. Term ermitteln wollen, ist n = 4 a_4 = 7 * 4 ^ (4-1) = 7 * 4 ^ (3) = 7 * 64 = 448 Hinweis: a_n = a_1r ^ (n- 1) Wenn a_1 der erste Term ist, ist a_n der tatsächliche Wert, der für einen bestimmten Weiterlesen »

Das komplexe Konjugat lautet: 7 + 3i Um Ihr komplexes Konjugat zu finden, ändern Sie einfach das Vorzeichen des Imaginärteils (des mit i). Die allgemeine komplexe Zahl: z = a + ib wird barz = a-ib. Grafisch: (Quelle: Wikipedia) Eine interessante Sache über komplexe konjugierte Paare ist, dass, wenn Sie sie multiplizieren, Sie eine reine reelle Zahl erhalten (Sie haben das i verloren), versuchen Sie es zu multiplizieren: (7-3i) * (7 + 3i) = (Remembering dass: i ^ 2 = -1) Weiterlesen »

Color (grün) (- 20i) Das komplexe Konjugat aus Farbe (Rot) a + Farbe (Blau) Bi ist Farbe (Rot) a-Farbe (Blau) Bi Farbe (Blau) (20) i ist gleich Farbe (Rot) ) 0 + color (blau) (20) i und daher ist das komplexe Konjugat color (rot) 0-color (blau) (20) i (oder nur -color (blau) (20) i) Weiterlesen »

1 sqrt 8 und 1 sqrt (-8) = 1-i sqrt 8, wobei ich sqrt (-1) symbolisiert. Das Konjugat der irrationalen Zahl in der Form a + bsqrt c, wobei c positiv ist und a, b und c rational sind (einschließlich Computerzeichenfolgenäherungen an irrationale und transzendentale Zahlen), ist a-bsqrt c 'Wenn c negativ ist, ist das Zahl wird als komplex bezeichnet und das Konjugat ist a + ibsqrt (| c |), wobei i = sqrt (-1) ist. Hier lautet die Antwort 1-Quadrat-8 und 1-Quadrat (-8) = 1-i Quadrat 8, wobei ich sqrt (-1) symbolisiere. # Weiterlesen »

2 Eine komplexe Zahl wird in der Form a + bi geschrieben. Beispiele umfassen 3 + 2i, -1-1 / 2i und 66-8i. Die komplexen Konjugate dieser komplexen Zahlen werden in der Form a-bi geschrieben: In ihren imaginären Teilen werden die Zeichen umgedreht. Sie wären: 3-2i, -1 + 1 / 2i und 66 + 8i. Sie versuchen jedoch, das komplexe Konjugat von nur 2 zu finden. Während dies in der Form a + bi nicht wie eine komplexe Zahl aussieht, ist es tatsächlich! Stellen Sie sich das so vor: 2 + 0i Das komplexe Konjugat von 2 + 0i wäre also 2-0i, was immer noch gleich 2 ist. Diese Frage ist eher theoretisch als praktisc Weiterlesen »

2sqrt10 Um ein komplexes Konjugat zu finden, ändern Sie einfach das Vorzeichen des Imaginärteils (des Teils mit dem i). Dies bedeutet, dass es entweder von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv geht. In der Regel ist das komplexe Konjugat von a + bi a-bi. Sie legen einen merkwürdigen Fall vor. In Ihrer Zahl gibt es keine imaginäre Komponente. Daher würde 2sqrt10, wenn es als komplexe Zahl ausgedrückt wird, als 2sqrt10 + 0i geschrieben. Daher ist das komplexe Konjugat von 2sqrt10 + 0i 2sqrt10-0i, was immer noch gleich 2sqrt10 ist. Weiterlesen »

Wenn z = 4 + 3i, dann ist bar z = 4-3i. Ein Konjugat einer komplexen Zahl ist eine Zahl mit demselben Realteil und einem gegenüberliegenden Imaginärteil. Im Beispiel: re (z) = 4 und im (z) = 3i Das Konjugat hat also: re (bar z) = 4 und im (bar z) = - 3i Also bar z = 4-3i Anmerkung zu einer Frage: Es ist üblicher, eine komplexe Zahl mit dem Realteil zu beginnen, damit sie eher als 4 + 3i und nicht als 3i + 4 geschrieben wird Weiterlesen »

-4-sqrt2i Die Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl sind gleich groß wie ihre Konjugate, aber der Imaginärteil ist im Vorzeichen entgegengesetzt. Wir bezeichnen das Konjugat einer komplexen Zahl, wenn die komplexe Zahl z ist, als barz. Wenn wir die komplexe Zahl z = -4 + sqrt2i haben, gilt Re (barz) = - 4 Im (barz) = - sqrt2: .barz = - 4-sqrt2i Weiterlesen »

Bar (sqrt (8)) = sqrt (8) = 2sqrt (2) Wenn a und b reell sind, wird im Allgemeinen das komplexe Konjugat aus: a + bi ist: a-bi Komplexe Konjugate werden häufig durch Platzieren eines Balkens bezeichnet über einen Ausdruck, so können wir schreiben: bar (a + bi) = a-bi Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl, aber mit einem imaginären Nullteil. Wir haben also: bar (a) = bar (a + 0i) = a-0i = a Das heißt, das komplexe Konjugat einer reellen Zahl ist selbst. Jetzt ist sqrt (8) eine reelle Zahl, also: bar (sqrt (8)) = sqrt (8) Wenn Sie möchten, können Sie sqrt (8) zu 2sqrt (2) vereinfache Weiterlesen »

7 - 2i> Wenn eine + Farbe (blau) "bi" "eine komplexe Zahl ist", dann ist eine - Farbe (rot) "Bi" "das Konjugat". Beachten Sie, wenn Sie eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugation multiplizieren. (a + bi) (a - bi) = a ^ 2 + abi - abi + bi ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 das Ergebnis ist eine reelle Zahl. Dies ist ein nützliches Ergebnis. [i ^ 2 = (sqrt-1) ^ 2 = -1], so dass 4-5i das Konjugat 4 + 5i hat. Der reale Begriff bleibt unverändert, aber der imaginäre Begriff ist das Negative dessen, was er war. Weiterlesen »

-2sqrt (5) i Bei einer komplexen Zahl z = a + bi (wobei a, b in RR und i = sqrt (-1)), ist das komplexe Konjugat oder Konjugat von z, als Balken (z) oder z ^ "* bezeichnet. ", wird durch bar (z) = a-bi angegeben. Bei einer reellen Zahl x> = 0 haben wir sqrt (-x) = sqrt (x) i. Beachten Sie, dass (sqrt (x) i) ^ 2 = (sqrt (x)) ^ 2 * i ^ 2 = x * -1 = -x Wenn wir diese Tatsachen zusammenfassen, haben wir das Konjugat von sqrt (-20) als Balken ( sqrt (-20)) = bar (sqrt (20) i) = bar (0 + sqrt (20) i) = 0-sqrt (20) i = -sqrt (20) i = -2sqrt (5) i Weiterlesen »

Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten aufweist, treten alle komplexen Nullen in komplexen konjugierten Paaren auf. Das heißt, wenn z = a + bi eine Null ist, dann ist bar (z) = a-bi auch eine Null. Tatsächlich gilt ein ähnlicher Satz für Quadratwurzeln und Polynome mit rationalen Koeffizienten: Wenn f (x) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und einer Null ist, die in der Form a + b sqrt (c) ausgedrückt werden kann, wobei a, b, c rational und sqrt ( c) ist irrational, dann ist ab (c) auch eine Null. Weiterlesen »

Bei einer Säure-Base-Neutralisation reagieren eine Säure und eine Base zu Wasser und Salz. Damit die Reaktion durchgeführt werden kann, müssen Protonen zwischen Säuren und Basen übertragen werden. Protonenakzeptoren und Protonendonoren sind die Basis für diese Reaktionen und werden auch als konjugierte Basen und Säuren bezeichnet. Weiterlesen »

Det (A ^ n) = det (A) ^ n Eine sehr wichtige Eigenschaft der Determinante einer Matrix ist, dass es sich um eine sogenannte multiplikative Funktion handelt. Es ordnet einer Zahl eine Zahlenmatrix so zu, dass für zwei Matrizen A, B det (AB) = det (A) det (B) ist. Dies bedeutet, dass für zwei Matrizen det (A ^ 2) = det (AA) = det (A) det (A) = det (A) ^ 2 ist, und für drei Matrizen det (A ^ 3) = det (A ^ 2A) = det (A ^ 2) det (A) = det (A) ^ 2det (A) = det (A) ^ 3 und so weiter. Daher gilt generell det (A ^ n) = det (A) ^ n für ein beliebiges ninNN. Weiterlesen »

Das Kreuzprodukt wird hauptsächlich für 3D-Vektoren verwendet. Es wird verwendet, um die Normalen (orthogonal) zwischen den 2 Vektoren zu berechnen, wenn Sie das rechte Koordinatensystem verwenden. Wenn Sie ein linkes Koordinatensystem haben, zeigt die Normalität in die entgegengesetzte Richtung. Im Gegensatz zu dem Punktprodukt, das einen Skalar erzeugt; das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor. Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, also vec u xx vec v! = Vec v xx vec u. Wenn wir zwei Vektoren erhalten: vec u = {u_1, u_2, u_3} und vec v = {v_1, v_2, v_3}, lautet die Formel: vec u xx vec v = {u_2 * v_3-u_3 * v_ Weiterlesen »

Ich würde damit beginnen, die Zahl in eine trigonometrische Form zu konvertieren: z = sqrt (3) -i = 2 [cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6)] Die Wurzel dieser Zahl kann wie folgt geschrieben werden: z ^ (1/3) In diesem Sinne verwende ich die Formel für die n-te Potenz einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form: z ^ n = r ^ n [cos (ntheta) + isin (ntheta)], wobei: z ^ ( 1/3) = 2 ^ (1/3) [cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3)] = = 2 ^ (1/3) [cos (- pi / 18) + isin (-pi / 18)] Welches in Rechteckigkeit ist: 4,2-0,7i Weiterlesen »

Die Definition eines Googolplex ist 10 zu einer Potenz von 10 zu einer Potenz von 100. Ein Googol ist 1, gefolgt von 100 Nullen, und ein Googolplex ist 1, gefolgt von einer Googolmenge von Nullen. Wenn Sie in einem Universum, das "ein Googolplex-Messgerät" ist, weit genug reisen würden, würden Sie wahrscheinlich erwarten, dass Sie nach Duplikaten von sich selbst suchen. Der Grund dafür ist, dass es im Universum eine begrenzte Anzahl von Quantenzuständen gibt, die den Raum repräsentieren können, in dem sich Ihr Körper befindet. Dieses Volumen beträgt ungefähr einen Weiterlesen »

Vektoren können hinzugefügt werden, indem die Komponenten einzeln hinzugefügt werden, sofern sie die gleichen Abmessungen haben. Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen, erhalten Sie einfach einen resultierenden Vektor. Was dieser resultierende Vektor bedeutet, hängt davon ab, welche Größe der Vektor darstellt. Wenn Sie eine Geschwindigkeit mit einer Geschwindigkeitsänderung hinzufügen, erhalten Sie Ihre neue Geschwindigkeit. Wenn Sie 2 Kräfte addieren, erhalten Sie eine Nettokraft. Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen, die dieselbe Größe aber entgegengesetzte Richtun Weiterlesen »

Die größte Summe der Exponenten jedes der Terme, nämlich: 4 + 8 + 6 + 9 + 1 + 8 = 36 Dieses Polynom hat zwei Terme (es sei denn, es fehlt ein + oder - vor den 7u ^ 9zw ^ 8, wie ich vermute ). Der erste Term hat keine Variablen und hat daher den Grad 0. Der zweite Term hat den Grad 4 + 8 + 6 + 9 + 1 + 8 = 36, wobei der Grad des Polynoms größer als 0 ist. Wenn Ihr Polynom so etwas wie: 3-4z ^ 4w ^ 8u ^ 6 + 7u ^ 9zw ^ 8 hätte sein sollen, wäre der Grad das Maximum der Grade der Ausdrücke: 0 4 + 8 + 6 = 18 9+ 1 + 8 = 18, der Grad des Polynoms wäre also 18 Weiterlesen »

Wir können den Differenzquotienten oder die Potenzregel verwenden. Lasst uns zuerst die Leistungsregel verwenden. f (x) = x = x ^ 1 f '(x) = 1x ^ (1-1) = 1x ^ 0 = 1 * 1 = 1 Differenzquotient lim_ (h-> 0) = (f (x + h) -f (x)) / h = (x + hx) / h = h / h = 1 Beachten Sie auch, dass f (x) = x eine lineare Gleichung ist, y = 1x + b. Die Steigung dieser Linie beträgt ebenfalls 1. Weiterlesen »

Die Determinante einer Matrix A hilft Ihnen, die inverse Matrix A ^ (- 1) zu finden. Sie können ein paar Dinge damit wissen: A ist genau dann invertierbar, wenn Det (A)! = 0 ist. Det (A ^ (- 1)) = 1 / (Det (A)) A ^ (- 1) = 1 / (Det (A)) * "" ^ t ((- 1) ^ (i + j) * M_ (ij)), wobei t die Transpositionsmatrix von ((-1) ^ (i + j) * M_ bedeutet (ij)), wobei i die Nr. der Linie ist, j die Nr. der Spalte von A ist, wobei (-1) ^ (i + j) der Cofaktor in der i-ten Zeile und j-th ist Spalte von A, und wobei M_ (ij) der Moll in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A ist. Weiterlesen »

Unten Die Diskriminante einer quadratischen Funktion ist gegeben durch: Delta = b ^ 2-4ac Was ist der Zweck der Diskriminante? Nun, es wird verwendet, um zu bestimmen, wie viele REAL-Lösungen Ihre quadratische Funktion hat. Wenn Delta> 0, dann hat die Funktion zwei Lösungen. Wenn Delta = 0 ist, hat die Funktion nur eine Lösung, und diese Lösung wird als doppelte Wurzel betrachtet, wenn Delta <0 , dann hat die Funktion keine Lösung (Sie können eine negative Zahl nicht Quadratwurzeln, wenn es sich nicht um komplexe Wurzeln handelt) Weiterlesen »

Siehe Erläuterung Eine Sequenz ist eine Funktion f: NN-> RR. Eine Reihe ist eine Folge von Summen von Begriffen einer Folge. Zum Beispiel ist a_n = 1 / n eine Sequenz, deren Ausdrücke sind: 1/2; 1/3; 1/4; ... Diese Sequenz ist konvergent, weil lim_ {n -> + oo} (1 / n) = 0 ist . Entsprechende Serien wären: b_n = Sigma_ {i = 1} ^ {n} (1 / n) Wir können folgendes berechnen: b_1 = 1/2 b_2 = 1/2 + 1/3 = 5/6 b_3 = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 Die Serie ist divergent. Weiterlesen »

Die beiden Sätze sind ähnlich, beziehen sich aber auf verschiedene Dinge. Siehe Erklärung. Der Restsatz gibt an, dass für jedes Polynom f (x) der Rest gleich dem Wert von f (a) ist, wenn Sie ihn durch das Binomial x-a teilen. Der Faktorsatz sagt uns, dass, wenn a eine Null eines Polynoms f (x) ist, (x-a) ein Faktor von f (x) ist und umgekehrt. Betrachten wir zum Beispiel das Polynom f (x) = x ^ 2 - 2x + 1 Mit dem Restsatz Wir können 3 in f (x) einstecken. f (3) = 3 ^ 2 - 2 (3) + 1 f (3) = 9 - 6 + 1 f (3) = 4 Der Rest ist der Rest, wenn Sie x ^ 2 - 2x + 1 teilen von x-3 ist 4. Sie können dies a Weiterlesen »

Die Directrix der Parabel ist eine gerade Linie, die zusammen mit dem Fokus (einem Punkt) in einer der häufigsten Definitionen von Parabeln verwendet wird. Tatsächlich kann eine Parabel als * der Ort der Punkte P definiert werden, so dass die Entfernung zum Fokus F gleich der Entfernung zur Direktlinie d ist. Die Directrix hat die Eigenschaft, immer senkrecht zur Symmetrieachse der Parabel zu sein. Weiterlesen »

Die Diskriminante ist Teil der quadratischen Formel. Quadratische Formel x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) Diskriminante b ^ 2-4ac Die Diskriminante gibt die Anzahl und die Arten von Lösungen für eine quadratische Gleichung an. b ^ 2-4ac = 0, eine echte Lösung b ^ 2-4ac> 0, zwei echte Lösungen b ^ 2-4ac <0, zwei imaginäre Lösungen Weiterlesen »

Wenn wir zwei Vektoren vec a = ((x_0), (y_0), (z_0)) und vec b ((x_1), (y_1), (z_1)) haben, dann steht der Winkel θ zwischen ihnen mit vec a * vec b = | vec a || vec b | cos (theta) oder theta = arccos ((vec a * vec b) / (| vec a || vec b |)) In dem Problem sind zwei Vektoren gegeben us: vec a = ((1), (0), (sqrt (3))) und vec b = ((2), (- 3), (1)). Dann gilt | vec a | = sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2 + sqrt (3) ^ 2) = 2 und | vec b | = sqrt (2 ^ 2 + (- 3) ^ 2 + 1 ^ 2) = Quadrat (14). Auch gilt vec a * vec b = 1 * 2 + 0 * (- 3) + sqrt (3) * 1 = 2 + sqrt (3). Daher ist der Winkel Theta zwischen ihnen Theta = Arccos ((vec a * vec b) / ( Weiterlesen »

Die Diskriminante ist der Ausdruck b ^ 2-4ac, wobei a, b und c aus der Standardform einer quadratischen Gleichung gefunden werden, ax ^ 2 + bx + c = 0. In diesem Beispiel ist a = 3, b = -10 und c = 4b ^ 2-4ac = (-10) ^ 2-4 (3) (4) = 100-48 = 52 Beachten Sie auch, dass der Diskriminant die Zahl beschreibt und geben Sie root (s) ein. b ^ 2-4ac> 0, zeigt 2 echte Wurzeln b ^ 2-4ac = 0, zeigt 1 echte Wurzel b ^ 2-4ac <0, 2 imaginäre Wurzeln Weiterlesen »

Unter folgendem Link erfahren Sie, wie Sie die Diskriminante finden. Was ist die Diskriminante von 3x ^ 2-10x + 4 = 0? Weiterlesen »

Diskriminanz b ^ 2-4ac a = 1 b = 2 c = 8 b ^ 2-4ac (2) ^ 2-4 (1) (8) 4-32 = -28 Da der Diskriminator weniger als 0 ist Wir wissen, dass wir zwei komplexe Wurzeln haben. Bitte beachten Sie den folgenden Link, um den Diskriminanten zu finden. Was ist die Diskriminante von 3x ^ 2-10x + 4 = 0? Weiterlesen »

Zunächst muss diese quadratische Gleichung in Standardform gebracht werden. ax ^ 2 + bx + c = 0 Um dies zu erreichen, müssen Sie 4 von beiden Seiten der Gleichung abziehen, um am Ende mit ... x ^ 2-4 = 0 zu landen. Wir sehen nun a = 1, b = 0, c = -4 Ersetzen Sie nun die Werte für a, b und c in der Diskriminanz Diskriminanz: b ^ 2-4ac = (0) ^ 2-4 (1) (- 4) = 0 + 16 = 16 Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise Link für eine andere beispielhafte Verwendung des Diskriminanten. Was ist die Diskriminante von 3x ^ 2-10x + 4 = 0? Weiterlesen »

Horizontal ist, wenn limxto + -oo1 / ((x-3) (x-1)) = 0 ist, und vertikal ist, wenn x 1 oder 3 ist. Die horizontalen Assymptoten sind die Assymptoten, wenn sich x unendlich oder negativ unendlich oder nicht limxtooo oder limxto-oo limxtooo 1 nähert / (x ^ 2-4x + 3) Dividiere oben und unten durch die höchste Potenz im Nenner limxtooo (1 / x ^ 2) / (1-4 / x + 3 / x ^ 2) 0 / (1-0- 0) = 0/1 = 0 Das ist also Ihre horizontale Assymptote. Negative Infinty ergibt das gleiche Ergebnis. Für die vertikale Asymptote suchen wir, wenn der Nenner gleich Null ist (x-1) (x-3) = 0, also haben eine vertikale Asymptote, wenn x = Weiterlesen »

Siehe unten: Häufige Berechnungsprobleme beinhalten Verschiebungszeitfunktionen, d (t). Für das Argument wollen wir unsere Verschiebungsfunktion mit einem Quadrat beschreiben. d (t) = t ^ 2-10t + 25 Geschwindigkeit ist die Änderungsrate der Verschiebung - die Ableitung einer Funktion d (t) ergibt eine Geschwindigkeitsfunktion. d '(t) = v (t) = 2t - 10 Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderungsgeschwindigkeit - die Ableitung einer v (t) -Funktion oder die zweite Ableitung der d (t) -Funktion ergibt eine Beschleunigungsfunktion. d '' (t) = v '(t) = a (t) = 2 Das macht sie hoffent Weiterlesen »

X = -2 3 ^ (2x + 2) + 8xx3 ^ (x) -1 = 0 3 ^ (2x) xx3 ^ 2 + 8xx3 ^ (x) -1 = 0 (3 ^ x) ^ 2 x 9 + 8xx3 ^ (x) -1 = 0 Sei 3 ^ x = a 9a ^ 2 + 8a - 1 = 0 (a + 1) (9a - 1) = 0 a = -1, 1/9 3 ^ x = a = > 3 ^ x = -1: keine Lösung 3 ^ x = 1/9 3 ^ x = 3 ^ (- 2) x = -2 Weiterlesen »

Vertikale Asymptote ist 6 Ende Verhalten (horizontale Asymptote) ist 5 Y-Achsenabschnitt ist -7/2 X-Achsenabschnitt ist 27/5 Wir wissen, dass die normale rationale Funktion wie 1 / x aussieht. Was wir über diese Form wissen müssen, ist, dass sie eine horizontale Asymptote (wenn x sich + -oo nähert) bei 0, und dass die vertikale Asymptote (wenn der Nenner gleich 0 ist) ebenfalls 0 ist. Als Nächstes müssen wir wissen, wie die Übersetzungsform 1 / (xC) + DC ~ Horizontale Übersetzung aussieht. Die vertikale Asympote wird durch CD ~ Vertikale Translation verschoben. Die horizontale Asympote wi Weiterlesen »