Was ist die Würfelwurzel von (sqrt3 -i)?

Ich würde damit beginnen, die Zahl in eine trigonometrische Form umzuwandeln:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Die Würfelwurzel dieser Nummer kann wie folgt geschrieben werden:

# z ^ (1/3) #

In diesem Sinne verwende ich die Formel für die n-te Potenz einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # geben:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Welches in Rechteck ist: # 4.2-0.7i #

Ich kann der Antwort von Gió nicht ganz zustimmen, weil sie unvollständig und auch (formal) falsch ist.

Der formale Fehler liegt in der Verwendung von De Moivres Formel mit nicht ganzzahligen Exponenten. Die Formel von De Moivre kann nur auf Integer-Exponenten angewendet werden. Mehr dazu auf der Wikipedia-Seite

Dort finden Sie eine teilweise Erweiterung der Formel, um damit umzugehen # n #-th Wurzeln (es handelt sich um einen zusätzlichen Parameter # k #): ob # z = r (cos theta + i sin theta) #, dann

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((Theta + 2 k pi) / n) + i sin ((Theta + 2 k pi) / n)) # woher # k = 0, …, n-1 #.

Eins (und in gewissem Sinne) das Sehr grundlegende Eigenschaft von komplexen Zahlen ist das # n #-th Wurzeln haben … # n # Wurzeln (Lösungen)! Der Parameter # k # (das variiert zwischen #0# und # n-1 #, so # n # Werte) lassen wir sie in einer einzigen Formel zusammenfassen.

Würfelwurzeln haben also drei Lösungen, und es ist nicht genug, nur eine davon zu finden:#1/3# der Lösung ".

Ich schreibe unten meinen Lösungsvorschlag. Kommentare sind willkommen!

Wie Gió richtig vorgeschlagen hat, ist der erste Schritt das Ausdrücken # z = sqrt {3} -i # in seiner trigonometrischen Form #r (cos theta + i sin theta) #. Im Umgang mit Wurzeln ist die trigonometrische Form (fast) immer ein nützliches Werkzeug (zusammen mit dem exponentiellen). Du kriegst:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

So # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Jetzt möchten Sie die Wurzeln berechnen. Durch die oben angegebene Formel erhalten wir:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((- pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((- pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

woher # k = 0, 1, 2 #. Es gibt also drei verschiedene Werte von # k # (#0#, #1# und #2#), die drei verschiedene komplexe Wurzeln von # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # und # z_2 # sind die drei Lösungen.

Die geometrische Interpretation der Formel für # n # root ist sehr nützlich, um die Lösungen in der komplexen Ebene zu zeichnen. Auch die Darstellung zeigt sehr schön die Eigenschaften der Formel.

Zunächst können wir feststellen, dass alle Lösungen die gleiche Entfernung haben # r ^ {1 / n} # (in unserem Beispiel #2^{1/3}#) vom Ursprung. Sie liegen also alle auf einem Radiusumfang # r ^ {1 / n} #. Jetzt müssen wir darauf hinweisen woher um sie auf diesen Umfang zu setzen. Wir können die Argumente von Sinus und Cosinus folgendermaßen schreiben:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (Theta / n + (2pi) / nk) + i sin (Theta / n + (2pi) / nk)) #

Die "erste" Wurzel entspricht # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (Theta / n) + i sin (Theta / n)) #

Alle anderen Wurzeln können daraus durch Addition des Winkels erhalten werden # (2pi) / n # rekursiv zum Winkel # theta / n # relativ zur ersten Wurzel # z_0 #. Also ziehen wir um # z_0 # am Umfang durch eine Drehung von # (2pi) / n # Radiant (# (360 °) / n #). Die Punkte befinden sich also auf den Eckpunkten eines Stammes # n #-gon Bei einem von ihnen können wir die anderen finden.

In unserem Fall:

wo der blaue Winkel ist # theta / n = -pi / 18 # und der Magenta ist # (2pi) / n = 2/3 pi #.