Was ist eine stückweise stetige Funktion? + Beispiel

Antworten:

Eine stückweise stetige Funktion ist eine Funktion, die nur in einer begrenzten Anzahl von Punkten in ihrem Bereich kontinuierlich ist.

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die Diskontinuitätspunkte einer stückweise kontinuierlichen Funktion keine entfernbaren Diskontinuitäten sein müssen. Das heißt, wir brauchen nicht, dass die Funktion kontinuierlich gemacht werden kann, indem Sie sie an diesen Punkten neu definieren. Es reicht aus, wenn diese Punkte von der Domäne ausgeschlossen werden, die Funktion in der eingeschränkten Domäne fortlaufend ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion:

#s (x) = {(-1, "wenn x <0"), (0, "wenn x = 0"), (1, "wenn x> 0"):} #

Graph {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Dies ist kontinuierlich für alle #x in RR # außer #x = 0 #

Die Diskontinuität bei # x = 0 # ist nicht entfernbar. Wir können nicht neu definieren #s (x) # an diesem Punkt und erhalten Sie eine kontinuierliche Funktion.

Beim # x = 0 # Der Graph der Funktion 'springt'. Formaler, in der Sprache der Grenzen, finden wir:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Das linke Limit und das rechte Limit stimmen also nicht überein mit dem Wert der Funktion bei # x = 0 #.

Wenn wir den endlichen Satz von Diskontinuitäten aus der Domäne ausschließen, ist die auf diese neue Domäne beschränkte Funktion fortlaufend.

In unserem Beispiel die Definition von #s (x) # als Funktion von # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # ist kontinuierlich.

Wenn wir grafisch darstellen #s (x) # beschränkt auf diese Domäne, sieht es immer noch so aus, als sei es diskontinuierlich #0#, aber #0# ist nicht Teil der Domäne, daher ist der "Sprung" dort irrelevant. Jederzeit willkürlich nahe #0#können wir ein kleines offenes Intervall wählen, in dem die Funktion (konstant und daher) stetig ist.

Etwas verwirrend wirkt die Funktion #tan (x) # wird als kontinuierlich betrachtet - und nicht stückweise kontinuierlich, weil die Asymptoten an sind #x = pi / 2 + n pi # sind von der Domain ausgeschlossen.

Graph {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Inzwischen funktioniert die Sägezahnfunktion #f (x) = x - Etage (x) # wird nicht stückweise stetig als Funktion aus betrachtet # RR # zu # RR #, ist aber in jedem endlichen offenen Intervall stückweise stetig.

Graph {3/5 (abs (sin (x · pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}