Was ist die Cofaktor-Expansionsmethode, um die Determinante zu finden?

Hallo !

Lassen #A = (a_ {i, j}) # sei eine Matrix von Größe #n times n #.

Wählen Sie eine Spalte aus: die Spaltennummer # j_0 # (Ich werde schreiben: "die # j_0 #-te Spalte ").

Das Kofaktor-Erweiterungsformel (oder Laplace-Formel) für die # j_0 #-te Spalte ist

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

woher # Delta_ {i, j_0} # ist die Determinante der Matrix #EIN# ohne sein #ich#-te Zeile und ihre # j_0 #-te Spalte; so, # Delta_ {i, j_0} # ist eine Determinante der Größe # (n-1) times (n-1) #.

Beachten Sie, dass die Nummer # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # wird genannt Kofaktor von Ort # (i, j_0) #.

Es sieht vielleicht kompliziert aus, ist aber anhand eines Beispiels leicht zu verstehen. Wir wollen rechnen # D #:

Wenn wir uns in der 2. Spalte entwickeln, dann bekommen Sie

so:

Endlich, # D = 0 #.

Um effizient zu sein, müssen Sie eine Zeile auswählen, die viele Nullen enthält: Die Summe ist sehr einfach zu berechnen!

Anmerkung. weil # det (A) = det (A ^ text {T}) #Sie können auch eine Zeile und keine Spalte auswählen. Die Formel wird also

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

woher # i_0 # ist die Nummer der ausgewählten Zeile.