Lösen Sie die folgende Gleichung: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Antworten:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Diese Erläuterung gibt ein ziemlich ausführliches Verfahren zum Bestimmen der Schritte zum Auffinden möglicher Faktoren, in die eine quadratische Gleichung so geschrieben werden kann, dass sie ohne die quadratische Gleichung und / oder einen Rechner lösbar ist.

Erläuterung:

Setzen Sie zuerst den Begriff auf der linken Seite der Gleichung.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Erweitern Sie das quadrierte Binom. Erinnere dich daran # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Wir können die Brüche löschen, indem wir die Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner von multiplizieren #3,25,# und #9,# welches ist #225#.

Beachten Sie, dass #225=3^2*5^2#, so #225/3=75#, #225/25=9#, und #225/9=25#.

Multiplikation durch mit #225# gibt:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Verteilen Sie jede multiplikative Konstante.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Verschieben Sie alle Terme auf eine Seite und ordnen Sie die Gleichung neu an.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Dies hat das Potenzial, faktorierbar zu sein: der Mangel an # x ^ 3 # und # x # Begriffe bedeuten, dass dies in der Form berücksichtigt werden kann # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Um die Faktoren zu testen, sollten Sie ein Paar von Ganzzahlen finden, dessen Produkt das Produkt des ersten und des endgültigen Koeffizienten ist # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Die gleichen ganzen Zahlen, deren Produkt ist #3^2*11*19# sollte eine Summe von haben #-118#.

Da das Produkt positiv und die Summe negativ ist, wissen wir, dass beide Ganzzahlen positiv sind.

Der Trick besteht jetzt darin, eine Zahlenkombination zu finden, die von kommt #3^2*11*19# deren Summe ist #118#. (Wenn wir die positive Version finden, können wir beide Zahlen leicht in ihre negative Form bringen.)

Wir sollten versuchen, Gruppierungen der Faktoren aus zu finden #3^2*11*19# das nicht überschreiten #118#.

Wir können die Möglichkeit von präventiv ausschließen #3^2*19# und #11*19# als eine unserer beiden ganzen Zahlen auftreten, da beide größer sind als #118#. Also, wenn wir uns konzentrieren #19# Da dies der größte Faktor ist, wissen wir, dass es nur als solcher existieren wird #19# oder #3*19#.

Daher sind unsere einzigen zwei Optionen für die ganzen Zahlen:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Summe"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Daher unser Nummernpaar, dessen Produkt ist #3^2*11*19# und die Summe ist #118# ist #19# und #99#.

Daraus können wir das Quartic schreiben als:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor durch Gruppierung:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Teilen Sie dies in zwei Gleichungen auf:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Antworten:

Gleichungen mit Brüchen sehen immer schlechter aus als sie sind. Solange Sie eine Gleichung und keinen Ausdruck haben, können Sie die Nenner loswerden, indem Sie sie mit dem LCM der Nenner multiplizieren.

Erläuterung:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Beginnen wir mit dem Quadrieren des Nenners im zweiten Semester.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Multiplizieren Sie nun jeden Term mit 225, um die Nenner zu löschen.

# Abbrechen (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / Abbruch3 + Abbruch (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / Abbruch25 = Abbruch (225) ^ 25xx7 / Abbruch9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Dies ist eindeutig ein Quadrat, also machen Sie es gleich 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2-175 (x ^ 2-2) = 0 #

Beachten Sie, dass die ersten und dritten Begriffe wie Begriffe sind, sodass wir sie zusammen hinzufügen können. Auch quadratisch die Mittelfrist.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 + 1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Entfernen Sie die Klammern nach dem Verteilungsgesetz:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Vereinfachen: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Die Erforschung der Faktoren 9 und 209 führt zu

9 = 3 × 3 oder 9 × 1 und 209 = 11 × 19

Die Kombination von Faktoren, die sich zu 118 addiert, ist 99 + 19

Faktorisierung gibt # (x ^ 2-11) (9x ^ 2-19) = 0 #

Ob # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Ob # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #