Ein Dreieck hat Eckpunkte A (a, b), C (c, d) und O (0, 0). Was ist die Gleichung und Fläche des umschriebenen Kreises des Dreiecks?

Antworten:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # woher

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #

#A = pi s #

Erläuterung:

Ich verallgemeinerte die Frage. mal sehen wie das geht. Ich habe einen Scheitelpunkt am Ursprung gelassen, was ihn etwas unordentlich macht, und ein beliebiges Dreieck lässt sich leicht übersetzen.

Das Dreieck ist natürlich völlig unwichtig für dieses Problem. Der umschriebene Kreis ist der Kreis durch die drei Punkte, die zufällig die drei Scheitelpunkte sind. Das Dreieck erscheint in der Lösung überraschend.

Einige Begriffe: Der umschriebene Kreis wird Dreieck genannt Umkreis und seine Mitte ist das Dreieck umlaufend.

Die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt # (p, q) # und quadratischer Radius # s # ist

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

und die Fläche des Kreises ist #A = pi s. #

Wir haben drei Unbekannte # p, q, s # und wir kennen drei Punkte, also erhalten wir drei Gleichungen:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # denn der Ursprung liegt im Kreis.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Lösen wir die simultanen Gleichungen. Lassen Sie uns sie in zwei lineare Gleichungen umwandeln, indem Sie Paare ausdehnen und subtrahieren, was einen Verlust bedeutet # p ^ 2 + q ^ 2 # links und # s # zur Rechten.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Subtrahieren, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Ähnlich, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Das sind zwei Gleichungen in zwei Unbekannten. # AX = K # hat Lösung # X = A ^ {- 1} K. # Ich erinnere mich an die Zwei-zu-Zwei-Matrix-Umkehrung, die ich nicht formatieren kann, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Für uns heißt das

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

und einen quadratischen Radius von

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

# s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #

so ein Bereich von #Pi# mal so viel.

Wir können sehen, dass der Ausdruck symmetrischer wird, wenn wir betrachten, was für das beliebige Dreieck geschieht # (A, B), (C, D), (E, F). # Legen wir fest # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # aber das klappt jetzt nicht.

Ich werde den Zähler von beachten # s # ist das Produkt der drei quadratischen Längen der Seiten des Dreiecks und dem Nenner von # s # ist das 16-fache der quadratischen Fläche des Dreiecks.

In Rational Trigonometry werden quadratische Längen genannt Quadranzen und sechzehnmal wird die quadratische Fläche die genannt Quadrea. Wir haben festgestellt, dass der Quadranz des Radius des Kreises das Produkt der Quadranzen des Dreiecks ist, geteilt durch seinen Quadranz.

Wenn wir nur den Radius oder die Fläche des Umkreises benötigen, können wir das Ergebnis hier zusammenfassen als:

Der quadratische Radius des Umkreises ist das Produkt der quadratischen Längen des Dreiecks, geteilt durch das Sechzehnfache der quadratischen Fläche des Dreiecks.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #