Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x / (x ^ 2 + 25) im Intervall [0,9]?

Antworten:

absolutes Maximum: #(5, 1/10)#

absolutes Minimum: #(0, 0)#

Erläuterung:

Gegeben: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "ein Intervall" 0, 9 #

Absolute Extrema können ermittelt werden, indem die Endpunkte ausgewertet und relative Maxima oder Minima ermittelt werden # y #-Werte.

Endpunkte auswerten:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Finden Sie relative Minima oder Maxima indem man es einstellt #f '(x) = 0 #.

Verwenden Sie die Quotientenregel: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Lassen #u = x; "u '= 1; v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Schon seit # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, wir müssen nur den Zähler = 0 setzen

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritische Werte: # x = + - 5 #

Da ist unser Intervall #0, 9#Wir müssen nur schauen #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Richten Sie mit dem ersten Ableitungstest Intervalle ein, um herauszufinden, ob dieser Punkt ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist:

Intervalle: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

Testwerte: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Das heisst beim #f (5) # Wir haben ein relatives Maximum. Dies wird das absolute Maximum im Intervall #0, 9#, seit der # y #-Wert des Punktes #(5, 1/10) = (5, 0.1)# ist am höchsten # y #-Wert im Intervall.

** Das absolute Minimum tritt am niedrigsten auf # y #-Wert am Endpunkt #(0,0)**.#