Wie finden Sie die absoluten maximalen und absoluten Mindestwerte von f für das angegebene Intervall: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) auf [-1, 5]?

Antworten:

Reqd. Extremwerte sind # -25 / 2 und 25/2 #.

Erläuterung:

Wir verwenden Substitution # t = 5sinx, t in -1,5 #.

Beachten Sie, dass diese Ersetzung zulässig ist, weil

# t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, das gilt als Bereich von #Sünde# Spaß. ist #-1,1#.

Jetzt, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Schon seit, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25/2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Daher muss reqd. Extremitäten sind # -25 / 2 und 25/2 #.

Antworten:

Finden Sie die Monotonie der Funktion anhand des Vorzeichens der Ableitung und entscheiden Sie, welches lokale Maximum / Minimum das größte und das kleinste ist.

Absolutes Maximum ist:

#f (3.536) = 12,5 #

Absolutes Minimum ist:

#f (-1) = - 4.899 #

Erläuterung:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Die Ableitung der Funktion:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) - t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Der Zähler hat zwei Lösungen:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Daher ist der Zähler:

  Negativ für #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positiv für #t in (-3.536,3.536) #

• Der Nenner ist immer positiv # RR #, da es eine Quadratwurzel ist.

  Schließlich ist der angegebene Bereich #-1,5#

Daher ist die Ableitung der Funktion:

- Negativ für #t in -1,3.536) #

- Positiv für #t in (3.536,5) #

Das heißt, der Graph geht zuerst von auf #f (-1) # zu #f (3.536) # und geht dann runter zu #f (5) #. Das macht #f (3.536) # das absolute Maximum und der größte Wert von #f (-1) # und #f (5) # ist das absolute Minimum.

Absolutes Maximum ist #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Für das absolute Maximum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Deshalb, #f (-1) = - 4.899 # ist das absolute Minimum.

Sie können der Grafik unten entnehmen, dass dies stimmt. Ignorieren Sie einfach den Bereich, der übrig ist #-1# da es außerhalb der Domain ist:

Graph {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}