Wenn wir den Wert von cos 20 ° mit einem Polynom approximieren möchten, wie groß muss das Polynom sein, damit der Fehler weniger als 10 ^ -3 beträgt?

Antworten:

#0#

Erläuterung:

# "Diese Frage ist schlecht gestellt als" #

#0.93969#

# "ist ein Polynom mit Grad 0, das die Aufgabe erfüllt." #

# "Ein Rechner berechnet den Wert von cos (x) durch den Taylor" #

#"Serie."#

# "Die Taylor-Serie von cos (x) lautet:" #

# 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + … #

# "Was Sie wissen müssen, ist der Winkel, den Sie in dieser Serie ausfüllen" #

# "muss im Bogenmaß sein. Also 20 ° =" pi / 9 = 0.349 … "rad." #

# "Um eine schnelle konvergente Serie zu erhalten, muss | x | kleiner als 1 sein." #

# "vorzugsweise kleiner als 0,5 gerade." #

# "Wir haben Glück, da dies der Fall ist. In dem anderen Fall würden wir" #

# "müssen goniometrische Identitäten verwenden, um den Wert zu verkleinern." #

#"Wir müssen haben:"#

# (pi / 9) ^ n / (n!) <0,001 ", n so klein wie möglich" #

# => n = 4 #

# "Dies ist der Fehlerbegriff, also muss" x ^ 4 / (4!) "Nicht sein" #

# "sogar ausgewertet, also brauchen wir nur die ersten beiden Begriffe:" #

# 1 - x ^ 2/2 = 1 - (pi / 9) ^ 2/2 = 0,93908 #

# "Der Fehler ist eindeutig kleiner als" 10 ^ -3 "oder" 0.001 "." #

# "Sie werden sich vielleicht weiter fragen, wie wir den Wert von" pi "erhalten." #

# "Dies kann unter anderem durch die Taylor-Reihe von" #

# "arctan (x) als arctan (1) =" pi / 4 => pi = 4 * arctan (1) "." #

# "Aber es gibt andere schnellere (besser konvergente) Serien zu" #

# "berechne" pi "." #