Infinitesimalrechnung

1/2 [-ln (abs (sq (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sq (1 + e ^ (2x)) - 1))]] + sqrt (1 + e ^) (2x)) + C Zuerst ersetzen wir: u = e ^ (2x) + 1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Führe a aus zweite Substitution: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2) -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Spaltung unter Verwendung von Teilfraktionen: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 Weiterlesen »

Im Lehrbuch verwende ich (Stewart Calculus) den kritischen Punkt von f = die kritische Zahl für f = Wert von x (die unabhängige Variable), dh 1) in der Domäne von f, wobei f 'entweder 0 ist oder nicht existiert. (Werte von x, die die Bedingungen des Satzes von Fermat erfüllen.) Ein Wendepunkt für f ist ein Punkt im Graphen (hat sowohl x- als auch y-Koordinaten), an dem sich die Konkavität ändert. (Andere Leute scheinen andere Terminologie zu verwenden. Ich weiß nicht, ob sie falsch gegessen haben oder nur eine andere Terminologie haben. Aber die Lehrbücher, die ich in den US Weiterlesen »

Ich würde sagen, dass eine Funktion bei a diskontinuierlich ist, wenn sie in der Nähe von a kontinuierlich ist (in einem offenen Intervall, das a enthält), aber nicht bei a. Es gibt aber auch andere Definitionen. Funktion f ist an Zahl a stetig und nur dann, wenn: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Voraussetzung dafür ist, dass 1 "" f (a) vorhanden sein muss. (a ist in der Domäne von f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) muss vorhanden sein 3 Die Zahlen in 1 und 2 müssen gleich sein. Im allgemeinen Sinne: Wenn f bei a nicht stetig ist, ist f bei a diskontinuierlich. Einige werden dann sagen Weiterlesen »

Pi / 4 Die Bogenlänge von f (x), x in [ab] ist gegeben durch: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Da wir nur y = 0 haben, können wir die gerade Linie von s zwischen 0 und pi / 4 nehmen, was pi / 4- ist. 0 = pi / 4 Weiterlesen »

Es ist (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Methode f (x) = sin ^ 7 (x) Es ist sehr nützlich, dies als f (x) = (sin (x)) ^ 7 umzuschreiben denn dies macht deutlich, dass wir eine 7 ^ (th) -Power-Funktion haben. Verwenden Sie die Potenzregel und die Kettenregel (Diese Kombination wird oft als generalisierte Potenzregel bezeichnet.) Für f (x) = (g (x)) ^ n ist die Ableitung f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), in anderer Schreibweise d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) In beiden Fällen für Ihre Frage f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Sie könnten f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) sc Weiterlesen »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) + 1 Wir wissen, dass int1 / xdx = lnx + C, also: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Daher f ( x) = In (x + 3) + C. Wir erhalten die Anfangsbedingung f (2) = 1. Erforderliche Substitutionen haben wir: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Wir können jetzt f (x) als umschreiben f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, und das ist unsere endgültige Antwort. Wenn Sie möchten, können Sie die folgende natürliche Log-Eigenschaft zur Vereinfachung verwenden: lna-lnb = ln (a / b) Wenn Sie dies auf ln (x + 3) -ln5 anwenden, erhalten wir ln ((x + 3) / 5). , so könne Weiterlesen »

Ln (x / 2) + 1> Die Ableitung von lnx = 1 / x, daher ist die Anti-Ableitung von 1 / x "lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Um c zu finden, benutze f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArrF (x) = lnx + 1-ln2 unter Verwendung von • lnx-lny = ln (x / y) ", um" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Weiterlesen »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Die Integration von f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 ermöglicht die Integrationskonstante ( c) durch Auswertung von x = 2 gefunden werden, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArrf (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Weiterlesen »

Ich fand: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Wir lösen das unbestimmte Integral: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c und dann verwenden wir unsere Bedingung, um c zu finden: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c so: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 und schließlich: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Weiterlesen »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Einfügen von 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Da f (2) = 3 ist, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Weiterlesen »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 wir verwenden die Integration durch Teile f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx in diesem Fall u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte xdxf (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Weiterlesen »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Verwenden Sie u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Das Zurücksetzen von u = sqrt (1 + x ^ 2) ergibt: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) + Weiterlesen »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Für einen gegebenen Satz von Koordinaten (x, y) gilt (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0,0768 ^ c) Weiterlesen »

Dies kann nicht ohne Kontext beantwortet werden. Hier sind einige Anwendungen in der Mathematik. Ein Satz hat eine unendliche Kardinalität, wenn es eins-zu-eins auf einen richtigen Teil seiner selbst abgebildet werden kann. Dies ist nicht die Verwendung von unendlich in der Analysis. In Kalkül verwenden wir "unendlich" auf drei Arten. Intervallnotation: Die Symbole oo (bzw. -oo) werden verwendet, um anzuzeigen, dass ein Intervall keinen rechten (bzw. linken) Endpunkt hat. Das Intervall (2, oo) ist das gleiche wie die Menge x Unendliche Grenzen. Wenn ein Grenzwert nicht existiert, da sich x an a annä Weiterlesen »

Die augenblickliche Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Objekt genau zu dem angegebenen Zeitpunkt bewegt. Wenn ich für genau zehn Sekunden mit exakt 10 m / s nach Norden fahre, dann genau zehn Meter nach Westen und genau 5 m / s genau fahre, ist meine Durchschnittsgeschwindigkeit ungefähr 5,59 m / s in (ungefähr) Nord-Nord-Richtung. Meine momentane Geschwindigkeit ist jedoch meine Geschwindigkeit an jedem Punkt: Genau fünf Sekunden nach meiner Fahrt ist meine momentane Geschwindigkeit 10 m / s nördlich; In genau fünfzehn Sekunden sind es 5m / s nach Westen. Weiterlesen »

Wir teilen das Intervall [a, b] in n Teilintervalle gleicher Länge auf. [a, b] bis {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, wobei a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Wir können das bestimmte Integral int_a ^ bf (x) dx durch die Trapezoidregel T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] approximieren. ba} / {2n} Weiterlesen »

Die L'Hopital-Regel wird hauptsächlich zum Ermitteln der Grenze als x -> a einer Funktion der Form f (x) / g (x) verwendet, wenn die Grenzen von f und g bei a so sind, dass f (a) / g ist (a) führt zu einer unbestimmten Form wie 0/0 oder oo / oo. In solchen Fällen kann man die Ableitung dieser Funktionen als x a einschränken. Somit würde man lim_ (x -> a) (f '(x)) / (g' (x)) berechnen, das gleich der Grenze der Anfangsfunktion ist. Als Beispiel für eine Funktion, bei der dies nützlich sein kann, betrachten Sie die Funktion sin (x) / x. In diesem Fall ist f (x) = sin (x), Weiterlesen »

L'Hopitals Regel Wenn {(lim_ {x zu a} f (x) = 0 und lim_ {x zu a} g (x) = 0), (oder), (lim_ {x zu a} f (x) = pm infty und lim_ {x zu a} g (x) = pm infty):} dann lim_ {x zu a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x zu a} {f '( x)} / {g '(x)}. Beispiel 1 (0/0) lim_ {x auf 0} {sinx} / x = lim_ {x auf 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Beispiel 2 (infty / infty) lim_ {x bis infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = Ich hoffe, das war hilfreich. Weiterlesen »

X = -4 und -8/5 Eine vertikale Asymptote ist also eine Linie, die sich vertikal bis unendlich erstreckt. Wenn wir feststellen, bedeutet dies, dass die y-Koordinate der Kurve unendlich ist. Wir wissen, dass unendlich = 1/0. Im Vergleich zu f (x) bedeutet dies, dass der Nenner von f (x) Null sein sollte. Daher ist (5x + 8) (x + 4) = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln -4 und -8/5 sind. Daher haben wir bei x = -4, -8/5 vertikale Asymptoten Weiterlesen »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Die Ableitung von sec (x) ist sec (x) tan (x). Da der Winkel jedoch 5x und nicht nur x ist, verwenden wir die Kettenregel. Also multiplizieren wir uns erneut mit der Ableitung von 5x, was 5 ist. Dies gibt uns unsere endgültige Antwort als sec (5x) tan (5x) * 5 Hoffe, das hat geholfen! Weiterlesen »

Wenn Sie die Leibniz-Notation bevorzugen, wird die zweite Ableitung mit (d ^ 2y) / (dx ^ 2) bezeichnet. Beispiel: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Wenn Sie die Primzahlen-Notation mögen, wird die zweite Ableitung mit zwei Primzahlen bezeichnet, im Gegensatz zur Markierung mit der ersten Ableitungen: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 In ähnlicher Weise, wenn die Funktion in Funktionsnotation ist: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Most Die Leute sind mit beiden Notationen vertraut, daher ist es normalerweise egal, welche Notation Sie wählen, solange die Leute verstehen, was S Weiterlesen »

Eine rationale Funktion ist, wenn sich x unter dem Bruchstrich befindet. Der Teil unter der Leiste wird Nenner genannt. Dies setzt der Domäne von x Grenzen, da der Nenner möglicherweise nicht 0 sein kann. Ein einfaches Beispiel: y = 1 / x Domäne: x! = 0 Dies definiert auch die vertikale Asymptote x = 0, da Sie x als nah bezeichnen können auf 0, wie Sie möchten, aber erreichen Sie es nie. Es macht einen Unterschied, ob Sie sich von der positiven Seite von der negativen Seite zur 0 bewegen (siehe Grafik). Wir sagen: lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo und lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Es gibt also einen Diskont Weiterlesen »

F '(x) = 72x-18 Im Allgemeinen besagt die Produktregel, dass wenn f (x) = g (x) h (x) mit g (x) und h (x) einige Funktionen von x ist, dann f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). In diesem Fall g (x) = 6x-4 und h (x) = 6x + 1, also g '(x) = 6 und h' (x) = 6. Daher ist f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Wir können dies überprüfen, indem wir zunächst das Produkt aus g und h herausarbeiten und dann differenzieren. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, also f '(x) = 72x-18. Weiterlesen »

Das absolute Extrem einer Funktion in einem geschlossenen Intervall [a, b] kann ein lokales Extrem in diesem Intervall sein oder die Punkte, deren Ascissae a oder b sind. Finden wir also die lokalen Extrema: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, wenn -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Unsere Funktion wird also in [-2, -1) und in (1,2) dekrementiert und wächst in (-1,1). Daher ist der Punkt A (-1-1) ein lokales Minimum und der Punkt B (1,1) ist ein lokales Maximum. Nun finden wir die Ordinate der Punkte an den Enden des I Weiterlesen »

Der minimale Punkt bei (1 / e, -1 / e) der gegebenen f (x) = x * ln x ergibt die erste Ableitung f '(x) und ist dann gleich Null. f '(x) = x * (1 / x) + In x * 1 = 0 1 + In x = 0 In x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Lösen nach f (x) bei x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (-1) f (x) = -1 / e, so dass der Punkt (1 / e , -1 / e) liegt im 4. Quadranten, der ein Minimum ist. Weiterlesen »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Schreiben wir es neu als: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Jetzt müssen wir davon ableiten von außen nach innen mit der Kettenregel. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Hier haben wir eine Ableitung eines Produktes 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (In (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Verwenden Sie einfach die grundlegende Algebra, um eine festgelegte Version zu erhalten: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] Und wir erhalten die Lösung: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Weiterlesen »

Die Abstandsfunktion ist: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Manipulieren wir dies. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Da ist das Antidivativ grundsätzlich ein unbestimmtes Integral ergibt sich daraus eine unendliche Summe von unendlich kleinen Werten von dx: = summsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx Dies ist die Formel für die Bogenlänge jeder Funktion, die Sie nach der Manipulation managbar integrieren können. Weiterlesen »

Ich finde es einfacher, zuerst an die Ableitung zu denken. Ich meine: Was würde nach einer Differenzierung zu einer Konstanten führen? Natürlich eine erste Gradvariable. Wenn Ihre Differenzierung beispielsweise zu f '(x) = 5 führte, ist es offensichtlich, dass der Gegenbegriff F (x) = 5x ist. Der Gegenbegriff einer Konstanten ist also mal die betreffende Variable (sei es x, y usw.) .) Wir könnten es mathematisch so sagen: intcdx <=> cx Beachten Sie, dass c im Integral 1 multipliziert: intcolor (grün) (1) * cdx <=> cx Das bedeutet, dass die Variable ersten Grades differenziert w Weiterlesen »

L = 3/4 pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) Einheiten. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9/16 theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Die Arclänge ist gegeben durch: L = int_-pi ^ pisqrt (9/16 theta 2 +) 9/16) d theta Vereinfachung: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Von der Symmetrie: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Anwenden des Substitutions-Theta = Tanphi: L = 3 / 2Insec ^ 3phidphi Dies ist ein bekanntes Integral: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Die Ersetzung umkehren: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi F&# Weiterlesen »

Ca. 27.879 Dies ist eine Gliederungsmethode. Ein Teil der Arbeit wurde mit dem Computer erledigt. Bogenlänge s = int dot s dt und dot s = sqrt (vec v * vec v) Nun gilt für vec r = 4 theta hatr vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta Hat r + 4 Theta Punkt Theta Hat Theta = 4 Punkt Theta (Hat R + Theta Hat Theta) Also Punkt s = 4 Punkt Theta sqrt (1 + Theta ^ 2) Bogenlänge s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int - (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta² (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) Computerlösung. Siehe Youtube hie Weiterlesen »

Bogenlänge ~~ 2,42533 (5dp) Die Bogenlänge ist negativ, da die untere Grenze 1 größer als die obere Grenze von ln2 ist. Wir haben eine parametrische Vektorfunktion, die gegeben ist durch: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Um die Bogenlänge zu berechnen, benötigen wir die Vektorableitung, die wir mit der Produktregel berechnen können: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Dann berechnen wir Weiterlesen »

Sqrt (3) Wir suchen die Bogenlänge der Vektorfunktion: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> für t in [1,2]. Dies lässt sich leicht mit Hilfe von L = int_alpha bewerten ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Wir berechnen also die Ableitung bb (ul (r ') (t)): bb (ul' (t)) = << 1,1,1 >> Damit erhalten wir die Bogenlänge: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Dieses triviale Ergebnis sollte keine Überraschung sein, da die gegebene ursprünglich Weiterlesen »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Um dieses Volumen zu berechnen, werden wir es gewissermaßen in (unendlich dünne) Scheiben schneiden. Wir stellen uns die Region vor. Um uns dabei zu helfen, habe ich die Grafik eingefügt, in der die Region der Teil unterhalb der Kurve ist. Wir stellen fest, dass y = x ^ 2-1 die Linie x = 5 mit y = 24 kreuzt und dass es die Linie y = 0 mit x = 1 graph {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] kreuzt. } Wenn Sie diesen Bereich in horizontale Schnitte mit Höhe dy (einer sehr kleinen Höhe) schneiden. Die Länge dieser Scheiben hängt stark von der y-Koordin Weiterlesen »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Multiplizieren Sie die Würfelwurzel von t in den Klammern, erhalten wir y = (t ^ (2 + 1) / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Dies ergibt y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Bei der Differenzierung erhalten wir dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Was ergibt: dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Weiterlesen »

98 Der Durchschnittswert von f auf [a, b] beträgt 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Für dieses Problem ist das 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Weiterlesen »

Der Durchschnittswert beträgt 4948/5 = 989,6. Der Durchschnittswert von f für Intervall [a, b] beträgt 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Wir erhalten also: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Weiterlesen »

1 / 2sin (2), ungefähr 0,4546487 Der Durchschnittswert c einer Funktion f für das Intervall [a, b] ist gegeben durch: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Hier wird der Durchschnitt angegeben Wert von: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Wir verwenden die Substitution u = x / 2. Dies bedeutet, dass du = 1 / 2dx ist. Wir können dann das Integral als solches neu schreiben: c = 1 / 4int_ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Aufteilen von 1 / 4 in 1/2 * 1/2 ermöglicht, dass 1 / 2dx im Integral vorhanden ist, sodass wir leicht die Substitution 1 / 2dx = du vornehmen k Weiterlesen »

Der Durchschnittswert ist 16/3. Der Durchschnittswert einer Funktion f in einem Intervall [a, b] beträgt 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Also ist der Wert, den wir suchen, 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Weiterlesen »

Es ist (4 (sqrt2-1)) / pi. Der Durchschnittswert einer Funktion f für ein Intervall [a, b] beträgt 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx. Also ist der Wert, den wir suchen, 1 / (pi) / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanxdx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sek (pi / 4) -sek (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Weiterlesen »

Der Durchschnittswert von f auf [a, b} beträgt 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Für diese Funktion in diesem Intervall erhalte ich -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Weiterlesen »

Siehe unten. Der Durchschnittswert beträgt 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi hat KEINEN rationalen Nenner. Weiterlesen »

Man nehme das Integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, das endlich ist, und beachte, dass es sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) begrenzt. Deshalb ist es konvergent, also ist auch sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). Die formale Aussage des Integraltests besagt, dass wenn fin [0, oo) rightarrowRR eine monoton abnehmende Funktion ist, die nicht negativ ist. Dann ist die Summe sum_ (n = 0) ^ oof (n) genau dann konvergent, wenn "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx endlich ist. (Tau, Terence. Analyse I, zweite Auflage. Hindustanische Buchagentur. 2009). Diese Aussage mag etwas technisch erscheinen, aber die Idee ist die folgende. Wenn wir i Weiterlesen »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Die Definition einer Ableitung einer Funktion f (x) an einem Punkt c kann geschrieben werden: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h In unserem Fall können wir sehen, dass wir (3 + h) ^ 3 haben, so dass wir vermuten könnten, dass die Funktion x ^ 3 ist und dass c = 3 ist. Wir können diese Hypothese bestätigen, wenn wir 27 als 3 ^ 3 schreiben: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3) -3 ^ 3) / h Wir sehen, wenn c = 3 wäre, würden wir erhalten: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Und wir können sehen, dass die Funktion gerade ist ein W Weiterlesen »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Wir wissen: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Das heißt, wir können den Grenzwert wie folgt umschreiben: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Unter Berücksichtigung der Definition einer Ableitung einer Funktion f (x) an einem Punkt c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Eine vernünftige Annahme ist, dass c = pi / 6, und wenn man es verwendet, können wir sehen, dass die Eingaben in die Cosinusfunktion mit den Eingaben für f (x) in der Definition übereinstimmen: lim_ (h- > 0) (cos (Farbe (rot) (c + h)) - cos (Farbe (rot) (c))) / h Das heißt, Weiterlesen »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Wir können zuerst den Bruch in zwei Teile aufteilen: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Wir können nun die folgende Identität verwenden: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Wir wissen, dass die Ableitung von cot (x) -csc ^ 2 (x) ist, so dass wir sowohl außerhalb als auch innerhalb des Integrals ein Minuszeichen hinzufügen können (damit sie abbrechen), um es herauszufinden: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Weiterlesen »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Wir kennen die Definition für sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Da wir die Maclaurin-Reihe für e ^ x kennen, können wir sie dazu verwenden konstruiere eins für sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Wir können die Serie für e ^ finden x durch Ersetzen von x durch -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Wir können diese beiden voneinander subtrahieren, um den Zähler der sinh-Definition zu finden: color (white) (- e ^ -x.) e ^ x = Farb Weiterlesen »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] Farbe (weiß) (dy / dx) = (5-x) 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] Farbe (weiß) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5-) 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) Farbe (weiß) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) Farbe (weiß) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Weiterlesen »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))) Sie müssen die Kettenregel verwenden. Es sei daran erinnert, dass die Formel hierfür lautet: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Die Idee ist, dass Sie zuerst die Ableitung der äußersten Funktion nehmen und dann nur Ihre Weg nach innen. Bevor wir beginnen, sollten wir alle unsere Funktionen in diesem Ausdruck identifizieren. Wir haben: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) ist die äußerste Funktion, also nehmen wir die Ableitung davon. Also: dy / dx = Farbe (blau) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Beachten Sie, wie wir das noch Weiterlesen »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Wir beginnen mit einer u-Substitution mit u = ln (x). Wir dividieren dann durch die Ableitung von u, um in Bezug auf u zu integrieren: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Jetzt müssen wir lösen x in Bezug auf u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Sie könnten vermuten, dass dies kein elementares Anti-Derivat hat, und Sie hätten Recht. Wir können jedoch die Form für die imaginäre Fehlerfunktion erfi (x) verwenden: erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) d Weiterlesen »

Siehe unten. Unter Berücksichtigung von abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n, aber summe_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 und d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 dann Summe_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ) ^ 3 Weiterlesen »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Wir beginnen mit der Einführung einer u-Substitution mit u = 1 + cosh (x). Die Ableitung von u ist dann sinh (x), also teilen wir uns durch sinh (x), um in Bezug auf u zu integrieren: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int cancel (sinh (x)) / (cancel (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Dieses Integral ist das gemeinsame Integral: int 1 / t dt = ln | t | + C Dies macht unser Integral: ln | u | + C Wir können erneut substituieren, um zu erhalten: ln (1 + cosh (x)) + C, was unsere endgültige Antwort ist. Wir entfernen den absoluten Wert aus dem Logarithmus Weiterlesen »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Faulhabers Formel)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Weiterlesen »

Siehe unten. Leider integriert sich die Funktion innerhalb des Integrals nicht in etwas, das nicht als Elementarfunktion ausgedrückt werden kann. Dazu müssen Sie numerische Methoden verwenden. Ich kann Ihnen zeigen, wie Sie eine Serienerweiterung verwenden, um einen ungefähren Wert zu erhalten. Beginnen Sie mit der geometrischen Reihe: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n für rlt1 Integrieren Sie nun in Bezug auf r und verwendet die Grenzwerte 0 und x, um dies zu erhalten: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integration der linken Seite: int Weiterlesen »

Kettenregel: f '(g (x)) * g' (x) In der Differentialrechnung verwenden wir die Kettenregel, wenn wir eine zusammengesetzte Funktion haben. Es heißt: Die Ableitung ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion in Bezug auf das Innere, mal der Ableitung der inneren Funktion. Mal sehen, wie das mathematisch aussieht: Kettenregel: f '(g (x)) * g' (x) Nehmen wir an, wir haben die zusammengesetzte Funktion sin (5x). Wir wissen: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Die Ableitung ist also gleich cos (5x) * 5 = 5cos (5x) Wir müssen nur unsere beiden Funktionen find Weiterlesen »

Wir wissen, dass eine Funktion mit dieser Formel approximiert werden kann f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) wobei R_n (x) der Rest ist. Und es funktioniert, wenn f (x) in x_0 n-mal ableitbar ist. Nehmen wir an, n = 4, ansonsten ist es zu kompliziert, die Ableitungen zu berechnen. Lassen Sie uns für jedes k = 0 bis 4 berechnen, ohne den Rest zu berücksichtigen. Wenn k = 0 ist, lautet die Formel: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Und wir sehen, dass e ^ (2/0) nicht schädlich ist, also kann die Funktion nicht funktionieren in x_0 = 0 angenähert werden Weiterlesen »

Hier ist ein Ansatz ... Mal sehen ... A linear ist in der Form f (x) = mx + b, wobei m die Steigung ist, x die Variable und b der y-Achsenabschnitt ist. (Sie wussten das!) Wir können die Konkavität einer Funktion finden, indem Sie ihre doppelte Ableitung (f '' (x)) ermitteln und wo sie gleich Null ist. Dann lass es uns tun! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) + 0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Das heißt also, dass lineare Funktionen an jedem Punkt gekrümmt sein müssen. Zu wissen, dass der Graph linearer Funktionen eine gerade Linie Weiterlesen »

Daher muss ich auch die Kettenregel für (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ verwenden 2 v = (2x-1) Einfügen in die Produktregel. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Weiterlesen »

Ich denke, dass es nicht standardisiert ist. Als Student an einer Universität in den USA im Jahr 1975 verwenden wir Calculus von Earl Swokowski (Erstausgabe). Seine Definition ist: Ein Punkt P (c, f (c)) auf dem Graphen einer Funktion f ist ein Wendepunkt, wenn ein offenes Intervall (a, b) existiert, das c enthält, so dass die folgenden Beziehungen gelten: (i) Farbe (weiß) (') "" f' '(x)> 0 wenn a <x <c und f' '(x) <0 wenn c <x <b; oder (ii) "f '' (x) <0, wenn a <x <c und f '' (x)> 0 ist, wenn c <x <b. (S. 146) In einem Le Weiterlesen »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Weiterlesen »

Dies ist die Exponentialfunktion der Basis b (wobei b> 0 angenommen werden sollte). Man kann es sich als b ^ x = e ^ (xln (b)) vorstellen, so dass unter Verwendung der Kettenregel (Siehe Kettenregel) und der Tatsache, dass (e ^ x) '= e ^ x (siehe Exponentiale mit Basis) e) ergibt (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) times ln (b) = b ^ x times ln (b) (siehe Exponentialfunktionen). Weiterlesen »

Die Ableitung von 10x in Bezug auf x ist 10. Sei y = 10x Unterscheide y in Bezug auf x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [since / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Die Ableitung von 10x in Bezug auf x ist 10. Weiterlesen »

Es gibt eine Regel zur Unterscheidung dieser Funktionen (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Beachten Sie, dass für unser Problem a = 10 und u = x Also lasst uns einstecken, was wir wissen. (d) / (dx) [10 ^ x] = (In 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) Wenn u = x, dann ist (du) / (dx) = 1 wegen der Potenz Regel: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Also, zurück zu unserem Problem, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1), das vereinfacht zu (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Dies würde das gleiche sein, wenn u etwas komplizierter als x wäre. Viele Berechnungen beschäftigen sich mi Weiterlesen »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Unter Verwendung der folgenden Standardregeln für die Differenzierung: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Wir erhalten folgendes Ergebnis: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Weiterlesen »

(d (2pir)) / (dr) Farbe (weiß) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) nach der Konstantenregel für Derivate Farbe (weiß) ("XXX") = 2pi ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Die konstante Regel für Derivate sagt uns, dass If ( x) = c * g (x) für einige Konstante c dann f '(x) = c * g' (x) In diesem Fall ist f (r) = 2pir; c = 2pi und g (r) = r Weiterlesen »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Angenommen, -4 / x ^ 2 Schreiben Sie den Ausdruck unter Verwendung der (dy) / (dx) -Notation neu. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Zerlegen Sie die Fraktion. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Verwenden Sie die Multiplikation mit einer konstanten Regel (c * f) '= c * f', um die -4 herauszuholen. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Schreibe 1 / x ^ 2 mit Exponenten um. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Unter Verwendung der Potenzregel d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1) wird der Ausdruck zu = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Vereinfachen. = Farbe (grün) (| bar (ul (Farbe (weiß)) (a / a) Farbe (schwarz) (8x ^ -3) Farbe Weiterlesen »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Ich finde es am einfachsten, in Form der Exponentenform zu denken und die Potenzregel zu verwenden: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) wie folgt: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (-1) ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Weiterlesen »

-5 Die Potenzregel für die Differenzierung lautet nun: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1) ) = -5xx1xx x ^ (1-1) unter Verwendung der Leistungsregel = -5x ^ 0 = -5, wenn wir die Definition (dy) / (dx) = Lim_ (harrarr0) (f (x + h) -f) verwenden (x)) / h haben wir (dy) / (dx) = Lim_ (harr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (harrarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (harr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (harr0) (- 5) = - 5 wie zuvor Weiterlesen »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx absolute Funktion wie y = | x-2 | kann wie folgt geschrieben werden: y = sqrt ((x-2) ^ 2) wende die Differenzierung an: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) rarrpower-Regel vereinfachen, y '= (x-2) / | x-2 | wo x! = 2 so im Allgemeinen d / dxu = u / | u | * (du) / dx Ich werde dies auf Doppelcheck setzen, nur um sicher zu sein. Weiterlesen »

Ich nehme an, Sie beziehen sich auf die gleichseitige Hyperbel, da dies die einzige Hyperbel ist, die als reale Funktion einer reellen Variablen ausgedrückt werden kann. Die Funktion wird durch f (x) = 1 / x definiert. Definitionsgemäß lautet die Ableitung für alle x in (-infty, 0) cup (0, + infty): f '(x) = lim_ {h bis 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h bis 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h bis 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h bis 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h bis 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Dies kann auch durch die folgende Ableitungsregel für alle alpha Weiterlesen »

5 Ihrer Notation hier nicht ganz sicher. Ich interpretiere das als: f (x) = 5x Ableitung: d / dx 5x = 5 Dies wird mit der Potenzregel erhalten: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Aus dem Beispiel: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Weiterlesen »

Ein Begleitkommentar zu Beginn: Die Notation cos ^ -1 für die inverse Cosinusfunktion (genauer gesagt die inverse Funktion der Restriktion von Cosinus auf [0, pi]) ist weit verbreitet, aber irreführend. Die Standardkonvention für Exponenten bei Verwendung von Triggerfunktionen (z. B. cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2) legt nahe, dass cos ^ (- 1) x (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos) ist x) Natürlich nicht, aber die Notation ist sehr irreführend. Die alternative (und häufig verwendete) Notation arccos x ist viel besser. Nun für die Ableitung. Dies ist eine Zusammensetzung, also verwenden wir die Kettenrege Weiterlesen »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1 - x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Unter Verwendung der Quotientenregel, die y = f (x) / g (x) ist, dann y '= (f' (x) g (x) - f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Dies gilt für ein gegebenes Problem, nämlich f (x) = (cos ^ -1x) ) / xf '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (-1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = -1 / (xsqrt (1 - x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, wobei -1 Weiterlesen »

Durch implizite Differenzierung ist f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Lassen Sie uns einige Details betrachten. Durch Ersetzen von f (x) durch y, y = cot ^ {- 1} x durch Umschreiben in Bezug auf Cotangens, Rightarrow coty = x durch implizite Differenzierung in Bezug auf x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 durch Division durch -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} durch die Triggeridentität csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Daher ist f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Weiterlesen »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Vorgang: 1.) y = "arccsc" (x) Zuerst werden wir die Gleichung in einer Form umschreiben, die einfacher zu verarbeiten ist. Nehmen Sie den Cosecans von beiden Seiten: 2.) csc y = x Umschreiben in Sinus: 3.) 1 / siny = x Lösen Sie für y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Nun sollte die Ableitung einfacher sein. Es ist jetzt nur noch eine Frage der Kettenregel. Wir wissen, dass d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) ist (es gibt einen Beweis für diese Identität hier). Nehmen Sie also die Ableitung der äußeren Funktion Weiterlesen »

F '(x) = e ^ (4x) / In10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Erläuterung: f (x) = e ^ (4x) log (1 - x) Konvertierung von Basis 10 bis ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 Unter Verwendung der Produktregel ist dies y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Ähnlich für das gegebene Problem folgt f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (-1) + ln (1– x) / In10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / In10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Weiterlesen »

-an (x) / In (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = In (cos (x)) / In (2) 1 / In (2) ist nur eine Konstante und kann ignoriert werden. (In (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / In (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Weiterlesen »

In f (x) = ln (cos (x)) haben wir eine Funktion einer Funktion (es ist keine Multiplikation, es wird nur gesagt), also müssen wir die Kettenregel für Ableitungen verwenden: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Für dieses Problem haben wir mit f (x) = ln (x) und g (x) = cos (x) f '(x) = 1 / x und g '(x) = - sin (x), dann fügen wir g (x) in die Formel für f' (*) ein. D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) Dies ist eine Erinnerung für später, wenn Sie etwas über Integrale erfah Weiterlesen »

Zuerst schreiben wir die Funktion in Form natürlicher Logarithmen unter Verwendung der Regel zur Änderung der Basis um: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Die Unterscheidung erfordert die Verwendung der Kettenregel: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [In (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Wir wissen das seit der Ableitung von ln x in Bezug auf x 1 / x ist, dann ist die Ableitung von ln (e ^ x + 3) in Bezug auf e ^ x + 3 1 / (e ^ x + 3). Wir wissen auch, dass die Ableitung von e ^ x + 3 in Bezug auf x einfach e ^ x ist: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x) ) Vereinfachung der Ausbeuten: d / dx f Weiterlesen »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Lösung Lasst sich y = ln (f (x)) differenzieren in Bezug auf x mit der Kettenregel, erhalten wir y' = 1 / f (x) * f '(x) Ähnlich folgend für das gegebene Problem ergibt sich f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Weiterlesen »

Ein Begleitkommentar zu Beginn: Die Notation sin ^ -1 für die inverse Sinusfunktion (genauer gesagt die inverse Funktion der Beschränkung von Sinus auf [-pi / 2, pi / 2]) ist weit verbreitet, aber irreführend. Die Standardkonvention für Exponenten bei Verwendung von Triggerfunktionen (z. B. sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2) legt nahe, dass sin ^ (- 1) x (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin) ist x) Natürlich nicht, aber die Notation ist sehr irreführend. Die alternative (und häufig verwendete) Notation arcsin x ist viel besser. Nun für die Ableitung. Dies ist eine Zusammensetzung, also verwenden wir di Weiterlesen »

F '(x) = 2 (cosec2x) Lösung f (x) = ln (tan (x)) Beginnen wir mit einem allgemeinen Beispiel. Angenommen, wir haben y = f (g (x)) und verwenden dann Kettenregel, y' = f '(g (x)) * g' (x) Entsprechend dem gegebenen Problem ist f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) Zur weiteren Vereinfachung multiplizieren und dividieren wir durch 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Weiterlesen »

Methode 1: Wir beginnen mit der Regel zum Ändern der Basis, um f (x) äquivalent umzuschreiben als: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Wir wissen, dass d / dx [ln x] = 1 / x ist . (Wenn diese Identität nicht bekannt ist, überprüfen Sie einige der Videos auf dieser Seite, um weitere Informationen zu erhalten.) Wir wenden also die Kettenregel an: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [Ln x / ln 6] Die Ableitung von ln x / 6 ist 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln6) Vereinfachung ergibt: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Methode 2: Als Erstes ist zu beachten, dass nur d / dx ln (x) = 1 / Weiterlesen »

Ich gehe davon aus, dass Sie mit Log einen Logarithmus mit der Basis 10 gemeint haben. Sollte überhaupt kein Problem sein, da die Logik auch für andere Basen gilt. Zuerst wenden wir die Regel für die Änderung der Basis an: f (x) = y = In (x ^ 2 + x) / In (10) Wir können 1 / In10 als eine Konstante betrachten, also nehmen wir die Ableitung von Zähler und wende die Kettenregel an: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Vereinfache ein Bit: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Es gibt unsere Ableitung. Denken Sie daran, dass die Ableitung von Logarithmen ohne Basis e nur eine Weiterlesen »

Die Ableitung ist f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Dies ist ein Beispiel für die Quotientregel: Quotientregel. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion f (x) = (u (x)) / (v (x)) ist: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Um es kurz zu fassen: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, wobei u und v Funktionen sind (insbesondere der Zähler und Nenner der ursprünglichen Funktion f (x)). Für dieses spezielle Beispiel würden wir u = logx und v = x annehmen. Daher ist u '= 1 / x und v' = 1. Durch Ersetzen dieser Ergebnisse in die Quotientenregel finde Weiterlesen »

Nach der Quotientenregel gilt y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Dieses Problem kann auch durch die Produktregel y' = f gelöst werden '(x) g (x) + f (x) g (x) Die ursprüngliche Funktion kann auch mit negativen Exponenten überschrieben werden. f (x) = In (x) / x = In (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + In (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * -1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1-) ln (x)) / x ^ 2 Weiterlesen »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Prozess: Zuerst werden wir die Gleichung etwas einfacher machen, um damit umzugehen. Nehmen Sie die Sekante beider Seiten: y = sec ^ -1 x sec y = x Schreiben Sie als nächstes cos: 1 / cos y = x und lösen Sie nach y: 1 = xcosy 1 / x = gemütliches y = arccos (1 / x) Das sieht jetzt viel einfacher aus. Wir wissen, dass d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) ist. Daher können wir diese Identität ebenso wie die Kettenregel verwenden: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Ein bisschen Vereinfachung: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / Weiterlesen »

Die meisten Leute erinnern sich an dieses f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} als eine der abgeleiteten Formeln; Sie können es jedoch durch implizite Differenzierung ableiten. Lassen Sie uns die Ableitung ableiten. Sei y = sin ^ {- 1} x. Durch Umschreiben in Sinus, siny = x Durch implizite Differenzierung in Bezug auf x, cosy cdot {dy} / {dx} = 1 Durch Division durch cosy, {dy} / {dx} = 1 / cosy Von cosy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Durch siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Weiterlesen »

Die Ableitung für dieses Beispiel umfasst die Kettenregel und die Leistungsregel. Wandeln Sie die Quadratwurzel in einen Exponenten um. Wenden Sie dann die Leistungsregel und die Kettenregel an. Vereinfachen Sie dann und entfernen Sie die negativen Exponenten. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x.) )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + In (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + In (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + In (x.)) ))) Weiterlesen »

Ich erinnere mich an meinen Professor, der vergessen hatte, wie er das herleiten sollte. Das habe ich ihm gezeigt: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Da tany = x / 1 und sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => Farbe (blau) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Ich denke, er wollte dies ursprünglich tun: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x sek ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Weiterlesen »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Wir brauchen die Summenregel (u + v + w)' = u '+ v' + w 'und das (x ^ n)' = nx ^ (n-1) wir erhalten f '(x) = 3x ^ 2-6x Weiterlesen »

Wenn Sie ein Exponential mit einer anderen Basis als e differenzieren, verwenden Sie die Regel zum Ändern der Basis, um es in natürliche Logarithmen zu konvertieren: f (x) = x * lnx / ln5 Unterscheiden Sie sich nun und wenden Sie die Produktregel an: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Wir wissen, dass die Ableitung von ln x 1 / x ist. Wenn wir 1 / ln5 als eine Konstante behandeln, können wir die obige Gleichung reduzieren auf: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Vereinfachung der Ergebnisse: d / dxf (x) = (lnx + 1) / ln5 Weiterlesen »

Die Funktion f (x) = x * ln (x) hat die Form f (x) = g (x) * h (x), wodurch sie für die Anwendung der Produktregel geeignet ist. Die Produktregel besagt, dass zum Ableiten einer Funktion, die ein Produkt von zwei oder mehr Funktionen ist, die folgende Formel verwendet wird: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In In diesem Fall können wir für jede Funktion die folgenden Werte verwenden: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Wenn wir diese jeweils ersetzen In der Produktregel erhalten wir die endgültige Antwort: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Erfahren Sie Weiterlesen »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Wir benötigen zwei Regeln: die Produktregel und die Kettenregel. Die Produktregel besagt, dass: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Die Kettenregel besagt folgendes: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, wobei u eine Funktion von x ist und y eine Funktion von u ist. Daher ist (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))', um die Ableitung von sqrt (1-x ^ 2) zu finden. verwenden Sie die Kettenregel mit u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Ersetzen dieses Ergeb Weiterlesen »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Um die Ableitung von g (x) zu finden, müssen Sie jeden Term in der Summe g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Es ist einfacher, die Leistungsregel im zweiten Term zu sehen, indem sie als g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + umgeschrieben wird 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Schließlich können Sie diesen neuen zweiten Term als Bruch umschreiben: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Weiterlesen »

Sie können i als jede Konstante wie C behandeln. Die Ableitung von i wäre 0. Wenn wir jedoch mit komplexen Zahlen umgehen, müssen wir vorsichtig sein, was wir über Funktionen, Ableitungen und Integrale sagen können. Man nehme eine Funktion f (z), wobei z eine komplexe Zahl ist (dh f hat eine komplexe Domäne). Dann ist die Ableitung von f auf ähnliche Weise wie im realen Fall definiert: f ^ prime (z) = lim_ (h bis 0) (f (z + h) - f (z)) / (h) wobei h jetzt ist eine komplexe Zahl. Wenn man bedenkt, dass komplexe Zahlen als in einer Ebene liegende, so genannte komplexe Ebene, gedacht werden Weiterlesen »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Sie verwenden die Kettenregel: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). In Ihrem Fall: (f @ g) (x) = In (2x), f (x) = In (x) und g (x) = 2x. Da f '(x) = 1 / x und g' (x) = 2 ist, haben wir: (fg) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Weiterlesen »

Betrachtet man die Funktion (linear): y = mx + b wobei m und b reelle Zahlen sind, lautet die Ableitung y 'dieser Funktion (in Bezug auf x): y' = m Diese Funktion, y = mx + b, stellt grafisch eine gerade Linie dar und die Zahl m steht für die PISTE der Linie (oder wenn Sie die Neigung der Linie wünschen). Wie Sie sehen können, ergibt die Ableitung der linearen Funktion y = mx + b Ihnen m, die Steigung der Geraden, die ein ziemlich nachgebbares Ergebnis ist und in Calculus weit verbreitet ist! Als Beispiel können Sie die Funktion betrachten: y = 4x + 5 Sie können jeden Faktor ableiten: Ablei Weiterlesen »

Die Ableitung von pi * r ^ 2 (unter der Annahme, dass dies in Bezug auf r ist) ist Farbe (weiß) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = Farbe (rot) (2pir) Im Allgemeinen die Leistung Eine Regel zur Differenzierung einer Funktion der allgemeinen Form f (x) = c * x ^ a wobei c eine Konstante ist, ist (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) color (white) ("XXX") die Konstante (c) ist pi color (white) ("XXX") der Exponent (a) ist 2 Farben (white) ("XXX") und wir verwenden r als unsere Variable, anstelle von x So färben Sie (weiß) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1 Weiterlesen »

Pi / 3 Wir verwenden die Regel: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Mit anderen Worten, die Ableitung von 5x ist 5, die Ableitung von -99x ist -99 und die Ableitung von 5 / 7x ist 5/7. Die gegebene Funktion (pix) / 3 ist gleich: es ist die Konstante pi / 3, multipliziert mit der Variablen x. Somit ist d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Weiterlesen »

2 * cos (2x) Ich würde die Kettenregel verwenden: Leiten Sie zuerst sin und dann das Argument 2x ab: cos (2x) * 2 Weiterlesen »