Wie finden Sie die Formel von MacLaurin für f (x) = sinhx und verwenden Sie diese zur Annäherung von f (1/2) innerhalb von 0,01?

Antworten:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Erläuterung:

Wir kennen die Definition für #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Da kennen wir die Maclaurin-Serie für # e ^ x #, wir können es verwenden, um eines zu erstellen #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Wir finden die Serie für # e ^ -x # Durch Ersetzen # x # mit # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Wir können diese beiden voneinander subtrahieren, um den Zähler der zu finden # sinh # Definition:

#Farbe (weiß) (- e ^ -x.) e ^ x = Farbe (weiß) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#Farbe (weiß) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = Farbe (weiß) (lllllllll) 2xFarbe (weiß) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Farbe (weiß) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Wir können sehen, dass alle geraden Terme abbrechen und alle ungeraden Terme verdoppelt werden. Wir können dieses Muster so darstellen:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Um die #sinh (x) # Serie, müssen wir dies nur durch teilen #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nun wollen wir rechnen #f (1 / 2) # mit einer Genauigkeit von mindestens #0.01#. Wir kennen diese allgemeine Form des Lagrange-Fehlers für ein Taylor-Polynom n-ten Grades # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X - c) ^ (n + 1) | # woher # M # ist eine obere Grenze der n-ten Ableitung des Intervalls von # c # zu # x #.

In unserem Fall handelt es sich bei der Erweiterung um eine Maclaurin-Serie # c = 0 # und # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Die Derivate höherer Ordnung von #sinh (x) # wird entweder sein #sinh (x) # oder #cosh (x) #. Wenn wir die Definitionen für sie betrachten, sehen wir das #cosh (x) # wird immer größer sein als #sinh (x) #, also sollten wir das ausarbeiten # M #-gebunden für #cosh (x) #

Die hyperbolische Cosinusfunktion nimmt immer zu, so dass der größte Wert des Intervalls bei liegt #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (Quadrat + 1 / Quadrat) / 2 = Quadrat / 2 + 1 / (2 Quadrat) = M #

Jetzt stecken wir das in die Lagrange-Fehlerbindung:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Wir wollen # | R_n (x) | # kleiner sein als #0.01#Also probieren wir es aus # n # Werte, bis wir an diesen Punkt gelangen (je weniger Terme im Polynom, desto besser). Wir glauben, dass # n = 3 # ist der erste Wert, der uns eine Fehlergrenze gibt, die kleiner als ist #0.01#, also müssen wir ein Taylor-Polynom 3. Grades verwenden.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #