Was ist die Bogenlänge von r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) auf Zinn [1, In2]?

Antworten:

Bogenlänge #~~ 2.42533 # (5dp)

Die Bogenlänge ist aufgrund der Untergrenze negativ #1# größer als die obere Grenze von # ln2 #

Erläuterung:

Wir haben eine parametrische Vektorfunktion, gegeben durch:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Um die Bogenlänge zu berechnen, benötigen wir die Vektorableitung, die wir anhand der Produktregel berechnen können:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Dann berechnen wir die Größe des abgeleiteten Vektors:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Dann können wir die Bogenlänge berechnen mit:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (In2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Es ist unwahrscheinlich, dass wir dieses Integral mit einer analytischen Technik berechnen können. Daher erhalten wir mit Numerischen Methoden eine Approximation:

# L ~~ 2.42533 # (5dp)

Die Bogenlänge ist aufgrund der Untergrenze negativ #1# größer als die obere Grenze von # ln2 #