Was ist das absolute Extrem der Funktion: 2x / (x ^ 2 +1) bei geschlossenem Intervall [-2,2]?

Das absolute Extrem einer Funktion in einem geschlossenen Intervall # a, b # kann ein lokales Extrema in diesem Intervall sein oder die Punkte, deren Ascissae sind #A oder B#.

Finden wir also die lokalen Extrema:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

ob

# -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Also ist unsere Funktion in #-2,-1)# und in #(1,2# und es wächst in #(-1,1)#und so der Punkt #A (-1-1) # ist ein lokales Minimum und der Punkt #B (1,1) # ist ein lokales Maximum.

Finden wir nun die Ordinate der Punkte an den Extremen des Intervalls:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Also die Kandidaten sind:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

und es ist leicht zu verstehen, dass die absoluten Extrema sind #EIN# und # B #, Wie du siehst:

Graph {2x / (x ^ 2 + 1) -2, 2, -5, 5}