Was ist die Ableitung von f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Methode 1:

Wir beginnen mit der Regel zum Ändern der Basis, um sie neu zu schreiben #f (x) # gleichwertig als:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Wir wissen das # d / dx ln x = 1 / x #.

(Wenn diese Identität nicht bekannt ist, überprüfen Sie einige Videos auf dieser Seite, um weitere Informationen zu erhalten.)

Wir werden also die Kettenregel anwenden:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Die Ableitung von #ln x / 6 # wird sein # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Vereinfachung gibt uns:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Methode 2:

Das erste, was zu beachten ist, ist das nur # d / dx ln (x) = 1 / x # woher #ln = log_e #. Mit anderen Worten, nur wenn die Basis ist # e #.

Wir müssen also das konvertieren # log_6 # nur zu einem Ausdruck #log_e = ln #. Dies nutzen wir die Tatsache

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # wann # n = e #

Nun lass #z = (ln x / ln 6) # damit #f (x) = z ^ 2 #

Deshalb, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dzz ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / In 6) (In x / In 6) (1 / x) = (2 In x) / (x * (In 6) ^ 2) #