Was ist f '(- pi / 3), wenn Ihnen f (x) = sin ^ 7 (x) gegeben wird?

Es ist # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Methode

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

Es ist sehr nützlich, dies als neu zu schreiben #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # denn dies macht deutlich, dass wir eine haben # 7 ^ (th) # Power-Funktion.

Verwenden Sie die Leistungsregel und die Kettenregel (Diese Kombination wird häufig als allgemeine Leistungsregel bezeichnet.)

Zum #f (x) = (g (x)) ^ n #ist die Ableitung #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, In anderer Notation # d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) #

In jedem Fall für Ihre Frage #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Du könntest schreiben #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

Beim # x = - pi / 3 #, wir haben

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "let" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "let" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Jetzt, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {Sind Sie einverstanden?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

aber erinnere dich #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Sie haben die Ehre zu vereinfachen

HINWEIS:

{

Frage mich, warum ich all das "Let stuff" mache?

Der Grund ist, dass es mehr als eine Funktion in gibt #f (x) #

** da ist: # sin ^ 7 (x) # und da ist #sin (x) #!!

um das zu finden #f '(x) # Ich muss das finden # f '# von # sin ^ 7 (x) #

Und das # f '# von #sin (x) #

deshalb muss ich es lassen # y = f (x) #

dann lass #u = sin (x) #

}