Wie berechnet man die Summe davon? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

In Anbetracht #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

aber # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # und

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # dann

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Antworten:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # wann # | x | <1 #

Erläuterung:

Wir schreiben zunächst einige der Koeffizienten aus:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Als erstes wollen wir uns die Koeffizienten anschauen (Grad von # x # kann ganz einfach durch Multiplizieren und Dividieren der Serie durch angepasst werden # x #, also sind sie nicht so wichtig). Wir sehen, dass sie alle ein Vielfaches von zwei sind, also können wir einen Faktor von zwei hervorheben:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Die Koeffizienten innerhalb dieser Klammer können als Binomialreihe mit der Potenz von erkannt werden # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2)) / (3!) X ^ 3 # #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Wir stellen fest, dass die Exponenten aller Ausdrücke in Klammern im Vergleich zu der gerade abgeleiteten Reihe um zwei größer sind. Wir müssen uns also vermehren # x ^ 2 # um die richtige serie zu bekommen:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Dies bedeutet, dass unsere Serie (wenn sie zusammenläuft) gleich ist:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Um sicherzugehen, dass wir keinen Fehler gemacht haben, können wir die Binomial-Serie schnell zum Berechnen einer Serie verwenden # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (-4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Wir können dieses Muster so beschreiben:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Da ist der erste Begriff gerade #0#, wir können schreiben:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Mit dieser Serie haben wir unser Ergebnis überprüft.

Jetzt müssen wir nur noch das Konvergenzintervall herausfinden, um zu sehen, wann die Serie tatsächlich einen Wert hat. Wir können dies tun, indem wir die Konvergenzbedingungen für die Binomialreihe betrachten und feststellen, dass die Serie wann konvergiert # | x | <1 #