Wie verwenden Sie den Integral Test, um die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zu bestimmen: sum n e ^ -n von n = 1 bis unendlich?

Antworten:

Nimm das Integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, die endlich ist, und beachten Sie, dass es begrenzt #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Daher ist es konvergent, so #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # ist auch gut.

Erläuterung:

Die formale Aussage des Integraltests besagt, dass wenn #fin 0, oo) rightarrowRR # eine monoton abnehmende Funktion, die nicht negativ ist. Dann die Summe #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # ist konvergent wenn und nur wenn # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # ist endlich. (Tau, Terence. Analyse I, zweite Auflage. Hindustanische Buchagentur. 2009).

Diese Aussage mag etwas technisch erscheinen, aber die Idee ist die folgende. In diesem Fall die Funktion übernehmen #f (x) = xe ^ (- x) #das merken wir für #x> 1 #Diese Funktion nimmt ab. Wir können das sehen, wenn wir die Ableitung nehmen. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, schon seit #x> 1 #, so # (1-x) <0 # und #e ^ (- x)> 0 #.

Aus diesem Grund merken wir das für alle #ninNN _ (> = 2) # und #x in 1, oo) # so dass #x <= n # wir haben #f (x)> = f (n) #. Deshalb #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, so #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # unter Verwendung der Integration durch Teile und das #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Schon seit #f (x)> = 0 #, wir haben # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, so #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Schon seit #f (n)> = 0 #, die Serie #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # steigt als # N # erhöht sich. Da ist es durch begrenzt # 3 / e #muss es zusammenlaufen Deshalb #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergiert.

Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {2 ^ -n} von n = 1 bis unendlich geht?

Verwenden Sie die Eigenschaften der Exponentialfunktion, um N zu bestimmen, z. B. | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon für jedes m, n> N Die Definition der Konvergenz besagt, dass {a_n} konvergiert, wenn: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Wenn also epsilon> 0 ist, nimm n> log_2 (1 / epsilon) und m, n> N mit m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 so | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nun ist 2 ^ x immer positiv, (1- 2 ^ (mn)) <1, also 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Und als 2

Wie kann man die Konvergenz oder Divergenz der Sequenz an = ln (n ^ 2) / n bestimmen?

Die Sequenz konvergiert Um festzustellen, ob die Sequenz a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konvergiert, beobachten wir, was a_n als n-> oo ist. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Nach der Regel von l'Hôpital = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Da lim_ (n-> oo) a_n ein endlicher Wert ist, konvergiert die Sequenz.

Wie finde ich die Konvergenz oder Divergenz dieser Serie? Summe von 1 bis unendlich von 1 / n ^ lnn

Es konvergiert Betrachten Sie die Reihe sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, wobei p> 1 ist. Beim p-Test konvergiert diese Serie. Nun ist 1 / n ^ lnn <1 / n ^ p für alle groß genug n, solange p ein endlicher Wert ist. Durch den direkten Vergleichstest konvergiert somit sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ lnn. Tatsächlich entspricht der Wert ungefähr 2,2381813.