Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {2 ^ -n} von n = 1 bis unendlich geht?

$Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {2 ^ -n} von n = 1 bis unendlich geht?$

Antworten:

Verwenden Sie die Eigenschaften der Exponentialfunktion, um N wie z # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # für jeden # m, n> N #

Erläuterung:

Die Definition der Konvergenz besagt, dass die #{ein}# konvergiert, wenn:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Also gegeben #epsilon> 0 # nehmen #N> log_2 (1 / epsilon) # und # m, n> N # mit #m <n #

Wie #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # so # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Jetzt als # 2 ^ x # ist immer positiv, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, so

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Und wie # 2 ^ (- x) # nimmt strikt ab und #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Aber:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

So:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

Der erste und der zweite Term einer geometrischen Sequenz sind jeweils der erste und der dritte Term einer linearen Sequenz. Der vierte Term der linearen Sequenz ist 10 und die Summe seiner ersten fünf Term ist 60. Finden Sie die ersten fünf Terme der linearen Sequenz?

{16, 14, 12, 10, 8} Eine typische geometrische Sequenz kann als c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k und eine typische arithmetische Sequenz als c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + dargestellt werden kDelta Mit c_0 a als erstem Element für die geometrische Sequenz haben wir {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Erster und zweiter von GS sind der erste und dritte eines LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Der vierte Term der linearen Sequenz ist 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Die Summe der ersten fünf Term ist 60"):} Durch Auflösen von c_0, a, Delta erhalten wir c_0 = 64/3 a

Wie lässt sich anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {5+ (1 / n)} von n = 1 bis unendlich geht?

Sei: a_n = 5 + 1 / n, dann für jedes m, n in NN mit n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) als n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n und als 1 / n> 0 gilt: abs (a_m-a_n) <1 / m. Wenn eine reelle Zahl epsilon> 0 ist, dann wähle eine ganze Zahl N> 1 / epsilon. Für beliebige ganze Zahlen m, n> N gilt: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, was die Cauchy-Bedingung für die Konvergenz einer Sequenz beweist.

Wie können Sie anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konvergiert?

Wenn eine beliebige Zahl epsilon> 0 ist, wählen Sie M> 1 / sqrt (6epsilon) und M in NN. Dann haben wir für n> = M: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon und so: n> = M => 1 / (6n ^ 2 +) 1) <epsilon, was die Grenze belegt.