Der erste und der zweite Term einer geometrischen Sequenz sind jeweils der erste und der dritte Term einer linearen Sequenz. Der vierte Term der linearen Sequenz ist 10 und die Summe seiner ersten fünf Term ist 60. Finden Sie die ersten fünf Terme der linearen Sequenz?

Antworten:

#{16, 14, 12, 10, 8}#

Erläuterung:

Eine typische geometrische Sequenz kann als dargestellt werden

# c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k #

und eine typische arithmetische Sequenz als

# c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta #

Berufung # c_0 a # als erstes Element für die geometrische Sequenz haben wir

# {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Erster und zweiter von GS sind der erste und dritte eines LS"), (c_0a + 3Delta = 10 -> "Der vierte Term der linearen Sequenz ist 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Die Summe der ersten fünf Terme ist 60"):} #

Lösen für # c_0, a, Delta # wir erhalten

# c_0 = 64/3, a = 3/4, Delta = -2 # und die ersten fünf Elemente für die arithmetische Folge sind

#{16, 14, 12, 10, 8}#

Antworten:

erste 5 Terme der linearen Sequenz: #color (rot) ({16,14,12,10,8}) #

Erläuterung:

(Die geometrische Reihenfolge wird ignoriert)

Wenn die lineare Reihe als bezeichnet wird #a_i: a_1, a_2, a_3, … #

und der gemeinsame Unterschied zwischen Begriffen wird als bezeichnet # d #

dann

beachten Sie, dass # a_i = a_1 + (i-1) d #

Der vierte Term der linearen Reihe ist 10

#rarr Farbe (weiß) ("xxx") a_1 + 3d = 10 Farbe (weiß) ("xxx") 1 #

Die Summe der ersten fünf Glieder der linearen Folge ist 60

#sum_ (i = 1) ^ 5 a_i = {:(Farbe (weiß) (+) a_1), (+ a_1 + d), (+ a_1 + 2d), (+ a_1 + 3d), (ul (+ a_1) + 4d)), (5a_1 + 10d):} = 60Farbe (weiß) ("xxxx") 2 #

Multiplikation 1 mit 5

# 5a_1 + 15d = 50 color (weiß) ("xxxx") 3 #

dann subtrahieren 3 von 2

#Farbe (weiß) (- "(") 5a_1 + 10d = 60 #

#ul (- "(" 5a_1 + 15d = 50 ")") #

#color (weiß) ("xxXXXxx") - 5d = 10color (weiß) ("xxx") rarrcolor (weiß) ("xxx") d = -2 #

Ersetzen #(-2)# zum # d # in 1

# a_1 + 3xx (-2) = 10 color (weiß) ("xxx") rarrcolor (weiß) ("xxx") a_1 = 16 #

Daraus folgt, dass die ersten 5 Terme sind:

#Farbe (weiß) ("XXX") 16, 14, 12, 10, 8 #

Der zweite Term in einer geometrischen Sequenz lautet 12. Der vierte Term in derselben Sequenz lautet 413. Wie lautet das übliche Verhältnis in dieser Sequenz?

Common Ratio r = sqrt (413/12) Zweiter Term ar = 12 Vierter Term ar ^ 3 = 413 Common Ratio r = {ar ^ 3} / {ar} r = sqrt (413/12)

Die Summe aus drei Zahlen ist 4. Wenn die erste Zahl verdoppelt und die dritte verdreifacht wird, dann ist die Summe zwei weniger als die zweite. Vier mehr als die erste, die der dritten hinzugefügt wurde, sind zwei mehr als die zweite. Finde die Zahlen?

1. = 2, 2. = 3, 3. = -1 Erstellen Sie die drei Gleichungen: Sei 1. = x, 2. = y und die 3. = z. EQ. 1: x + y + z = 4 EQ. 2: 2x + 3z + 2 = y "=> 2x - y + 3z = -2 EQ. 3: x + 4 + z -2 = y "" => x - y + z = -2 Beseitigen Sie die Variable y: EQ1. + EQ. 2: 3x + 4z = 2 EQ. 1 + EQ. 3: 2x + 2z = 2 Lösen Sie für x, indem Sie die Variable z durch Multiplizieren des EQ eliminieren. 1 + EQ. 3 von -2 und zum EQ addieren. 1 + EQ. 2: (-2) (EQ. 1 + EQ. 3): -4x - 4z = -4 3x + 4z = 2 ul (-4x - 4z = -4) -x = -2 > x = 2 Lösen Sie für z, indem Sie x in den EQ setzen. 2 & EQ. 3: EQ. 2 mit x: 4 - y +

Der erste Term einer geometrischen Folge ist 4 und der Multiplikator oder das Verhältnis ist –2. Was ist die Summe der ersten 5 Terme der Sequenz?

Erster Term = a_1 = 4, gemeinsames Verhältnis = r = -2 und Anzahl der Terme = n = 5 Die Summe der geometrischen Reihen bis zu n tems ergibt sich aus S_n = (a_1 (1-r ^ n)) / (1-r) ) Wenn S_n die Summe aus n Ausdrücken ist, n die Anzahl der Ausdrücke ist, a_1 der erste Ausdruck ist, r das übliche Verhältnis ist. Hier ist a_1 = 4, n = 5 und r = -2 impliziert S_5 = (4 (1 - (- 2) ^ 5)) / (1 - (- 2)) = (4 (1 - (- 32))) / (1 + 2) = (4 (1 + 32)) / 3 = (4 (33)) / 3 = 4 * 11 = 44 Daher ist die Summe 44