Wie lässt sich anhand der Definition der Konvergenz beweisen, dass die Sequenz {5+ (1 / n)} von n = 1 bis unendlich geht?

Lassen:

#a_n = 5 + 1 / n #

dann für alle # m, n in NN # mit #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

wie #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

und wie # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Eine beliebige Zahl angegeben #epsilon> 0 #Wählen Sie dann eine ganze Zahl #N> 1 / epsilon #.

Für beliebige Zahlen # m, n> N # wir haben:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

was Cauchys Bedingung für die Konvergenz einer Sequenz beweist.