Was ist die Unendlichkeit? + Beispiel

Antworten:

Dies kann nicht ohne Kontext beantwortet werden. Hier sind einige Anwendungen in der Mathematik.

Erläuterung:

Ein Satz hat eine unendliche Kardinalität, wenn es eins-zu-eins auf einen richtigen Teil seiner selbst abgebildet werden kann. Dies ist nicht die Verwendung von unendlich in der Analysis.

In Kalkül verwenden wir "unendlich" auf drei Arten.

Intervall-Notation:

Die symbole # oo # (beziehungsweise # -oo #) werden verwendet, um anzuzeigen, dass ein Intervall keinen rechten (bzw. linken) Endpunkt hat.

Das Intervall # (2, oo) # ist das gleiche wie das Set # x #

Unbegrenzte Grenzen

Wenn ein Limit nicht existiert, da als # x # Ansätze #ein#die Werte von #f (x) # ohne gebunden zu erhöhen, dann schreiben wir #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Beachten Sie, dass der Ausdruck "ohne Bindung" von Bedeutung ist. Die nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # nehmen zu, sind aber oben begrenzt. (Sie kommen nie vorbei oder gehen weiter #1#.)

Grenzen an der Unendlichkeit

Der Ausdruck "das Limit bei Unendlich" wird verwendet, um anzuzeigen, dass wir gefragt haben, was passiert #f (x) # wie # x # steigt ohne gebunden.

Beispiele beinhalten

Die Grenze als # x # steigt ohne gebunden an # x ^ 2 # existiert nicht da, als # x # steigt ohne gebunden, # x ^ 2 # steigt auch ohne gebunden.

Das ist geschrieben #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # und wir lesen es oft

"Die Grenze als # x # geht ins Unendliche, von # x ^ 2 # ist unendlich"

Das Limit #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # weist darauf hin, dass, wie # x # steigt ohne gebunden, # 1 / x # Ansätze #0#.

Antworten:

Das hängt vom Kontext ab …

Erläuterung:

#bb + - # Unendlichkeit und Grenzen

Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen # RR #, oft als Linie mit negativen Zahlen links und positiven Zahlen rechts dargestellt. Wir können zwei Punkte hinzufügen # + oo # und # -oo # die nicht ganz als Zahlen funktionieren, aber die folgende Eigenschaft haben:

#AA x in RR, -oo <x <+ oo #

Dann können wir schreiben #lim_ (x -> + oo) # die Grenze als bedeuten # x # wird immer mehr positiv ohne obere Schranke und #lim_ (x -> - oo) # die Grenze als bedeuten # x # wird immer mehr negativ ohne Untergrenze.

Wir können auch Ausdrücke schreiben wie:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… was bedeutet, dass der Wert von # 1 / x # steigt oder fällt ohne gebunden als # x # Ansätze #0# von 'rechts' oder 'links'.

Also in diesen Zusammenhängen # + - oo # sind wirklich eine Abkürzung, um Bedingungen oder Ergebnisse begrenzender Prozesse auszudrücken.

Unendlichkeit als Vollendung von # RR # oder # CC #

Die projektive Linie # RR_oo # und Riemann-Kugel # CC_oo # werden gebildet, indem ein einzelner Punkt hinzugefügt wird # oo # zu # RR # oder # CC # - der "Punkt im Unendlichen".

Wir können dann die Definition von Funktionen erweitern #f (z) = (az + b) / (cz + d) # kontinuierlich und gut definiert sein # RR_oo # oder # CC_oo #. Diese Möbius-Transformationen funktionieren besonders gut #Gurren#, wo sie Kreise auf Kreise abbilden.

Unendlichkeit in der Satztheorie

Die Größe (Kardinalität) der Menge von Ganzzahlen ist unendlich, bekannt als abzählbare Unendlichkeit. Georg Cantor stellte fest, dass die Anzahl der reellen Zahlen strikt größer ist als diese abzählbare Unendlichkeit. In der Mengenlehre gibt es eine Unmenge von unendlich großen Größen.

Unendlichkeit als Zahl

Können wir Unendlichkeiten tatsächlich als Zahlen behandeln? Ja, aber die Dinge funktionieren nicht wie erwartet. Zum Beispiel könnten wir glücklich sagen # 1 / oo = 0 # und # 1/0 = oo #aber was ist der Wert von # 0 * oo? #

Es gibt Zahlensysteme, die unendlich viele und unendlich kleine Zahlen (unendlich kleine Zahlen) umfassen. Diese bieten ein intuitives Bild der Ergebnisse von Limitprozessen wie Differenzierung und können rigoros behandelt werden, es gibt jedoch einige zu vermeidende Fallstricke.