Wie berechne ich das? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Beispiel

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Leider integriert sich die Funktion innerhalb des Integrals nicht in etwas, das nicht als Elementarfunktion ausgedrückt werden kann. Dazu müssen Sie numerische Methoden verwenden.

Ich kann Ihnen zeigen, wie Sie mit einer Serienerweiterung eine ungefährer Wert.

Beginnen Sie mit der geometrischen Serie:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oder ^ n # zum # rlt1 #

Jetzt in Bezug auf integrieren # r # und die Grenzen nutzen #0# und # x # um das zu bekommen:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Einbindung der linken Seite:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Integrieren Sie nun die rechte Seite, indem Sie Begriff für Begriff integrieren:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Daraus folgt:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Jetzt durch teilen # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Wir haben also jetzt Power Series-Ausdruck für die Funktion, mit der wir ursprünglich begonnen haben. Schließlich können wir uns wieder integrieren, um:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Durch die Integration der rechten Seite nach Begriff Seite erhalten wir:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Die Bewertung der Grenzwerte auf vier Begriffe ergibt einen ungefähren Wert:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Nun, das sind nur vier Begriffe. Wenn Sie eine genauere Zahl wünschen, verwenden Sie einfach mehr Begriffe in der Serie. Gehen Sie beispielsweise zum 100. Begriff:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Nebenbei bemerkt, wenn Sie genau den gleichen Prozess durchlaufen, aber die Summationsnotation verwenden (d. H. Mit großem Sigma, anstatt die Terme der Serie aufzuschreiben), werden Sie Folgendes feststellen:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

Dies ist nur die Riemann-Zeta-Funktion von 2, d. h.

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -summe_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Wir wissen eigentlich schon, wie wertvoll dies ist: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Daher kann der genaue Wert des Integrals wie folgt abgeleitet werden:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #