Was ist die Ableitung von f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Verarbeiten:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Zuerst werden wir die Gleichung in einer Form umschreiben, mit der einfacher zu arbeiten ist.

Nehmen Sie den Cosecant von beiden Seiten:

2.) #csc y = x #

Umschreiben in Bezug auf Sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Lösen für # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Nun sollte die Ableitung einfacher sein. Es ist jetzt nur noch eine Frage der Kettenregel.

Wir wissen das # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (Es gibt einen Nachweis dieser Identität hier)

Nehmen Sie also die Ableitung der äußeren Funktion und multiplizieren Sie sie mit der Ableitung von # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Die Ableitung von # 1 / x # ist das gleiche wie die Ableitung von #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Vereinfachung 8. gibt uns:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Um die Aussage etwas schöner zu machen, können wir das Quadrat von bringen # x ^ 2 # innerhalb des Radikals, obwohl dies nicht notwendig ist:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Vereinfachung der Erträge:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Und da ist unsere Antwort. Denken Sie daran, dass Ableitungsprobleme mit inversen Triggerfunktionen meistens eine Übung in Ihrem Wissen um Trigidentitäten sind. Verwenden Sie sie, um die Funktion in eine Form zu zerlegen, die leicht zu unterscheiden ist.