Wie finden Sie das Volumen der von den Kurven y = x ^ 2 - 1 und y = 0 umschlossenen Region um die Linie x = 5 gedreht?

Antworten:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Erläuterung:

Um dieses Volumen zu berechnen, schneiden wir es gewissermaßen in (unendlich dünne) Scheiben.

Wir stellen uns die Region vor. Um uns dabei zu helfen, habe ich die Grafik eingefügt, in der die Region der Teil unterhalb der Kurve ist. Wir notieren das # y = x ^ 2-1 # überquert die Linie # x = 5 # woher # y = 24 # und dass es die Grenze überschreitet # y = 0 # woher # x = 1 # Graph {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Beim Schneiden dieses Bereichs in horizontalen Scheiben mit Höhe # dy # (eine sehr kleine Höhe). Die Länge dieser Scheiben hängt stark von der y-Koordinate ab. Um diese Länge zu berechnen, müssen wir die Entfernung von einem Punkt kennen # (y, x) # an der Leitung # y = x ^ 2-1 # bis zum Punkt (5, y). Natürlich ist das so # 5-x #Aber wir möchten wissen, wie es darauf ankommt # y #. Schon seit # y = x ^ 2-1 #, wir wissen # x ^ 2 = y + 1 #, Seit wir … Haben #x> 0 # für die Region, an der wir interessiert sind, # x = sqrt (y + 1) #daher ist diese Entfernung von abhängig # y #, die wir als bezeichnen werden #r (y) # ist gegeben durch #r (y) = 5-Quadratmeter (y + 1) #.

Jetzt drehen wir diese Region um # x = 5 #Dies bedeutet, dass jede Scheibe zu einem Zylinder mit Höhe wird # dy # und Radius #r (y) #daher ein Band #pir (y) ^ 2dy #. Jetzt müssen wir nur noch diese unendlich kleinen Volumina mithilfe von Integration addieren. Wir notieren das # y # geht von #0# zu #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5 sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _ ^ 24 = Pi (26 * 24-20) / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.