Was ist die Ableitung von i? + Beispiel

Sie können behandeln #ich# wie jede Konstante # C #. Also die Ableitung von #ich# wäre #0#.

Beim Umgang mit komplexen Zahlen müssen wir jedoch vorsichtig sein, was wir über Funktionen, Ableitungen und Integrale sagen können.

Nimm eine Funktion #f (z) #, woher # z # ist eine komplexe Zahl (das heißt, # f # hat eine komplexe Domäne). Dann die Ableitung von # f # wird auf ähnliche Weise wie im konkreten Fall definiert:

# f ^ prim (z) = lim_ (h bis 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #

woher # h # ist jetzt eine komplexe Zahl. Wenn man sieht, dass komplexe Zahlen als in einer Ebene liegende, so genannte komplexe Ebene, gedacht werden können, haben wir das Ergebnis dieser Begrenzung davon abhängig, wie wir es uns vorgenommen haben # h # gehe zu #0# (dh mit welchem Weg haben wir uns dafür entschieden).

Im Falle einer Konstante # C #Es ist leicht zu sehen, dass es abgeleitet ist #0# (Der Beweis ist analog zum realen Fall).

Nehmen Sie als Beispiel # f # sein #f (z) = Takt (z) #, das ist, # f # nimmt eine komplexe Zahl # z # es ist konjugiert #bar (z) #.

Dann die Ableitung von # f # ist

# f ^ prim (z) = lim_ (h bis 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h bis 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h bis 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h bis 0) (bar (h)) / (h) #

Betrachten zu machen # h # gehe zu #0# nur reelle Zahlen verwenden. Da das komplexe Konjugat einer reellen Zahl selbst ist, haben wir:

# f ^ prime (z) = lim_ (h bis 0) (Takt (h)) / (h) = = lim_ (h bis 0) h / h = = lim_ (h bis 0) 1 = 1 #

Jetzt machen # h # gehe zu #0# Verwenden Sie nur reine imaginäre Zahlen (Zahlen des Formulars) # ai #). Da das Konjugat eine reine imaginäre Zahl ist # w # ist # -w #, wir haben:

# f ^ prim (z) = lim_ (h bis 0) (Takt (h)) / (h) = = lim_ (h bis 0) -h / h = = lim_ (h bis 0) -1 = -1 #

Und deshalb #f (z) = Takt (z) # hat keine Ableitung.