Wie integriere ich int x ^ lnx?

Antworten:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Erläuterung:

Wir beginnen mit einer u-Substitution mit # u = ln (x) #. Wir teilen uns dann durch die Ableitung von # u # in Bezug auf integrieren # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Jetzt müssen wir lösen # x # bezüglich # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Sie könnten vermuten, dass dies keine elementare Anti-Ableitung hat, und Sie hätten recht. Wir können das Formular jedoch für die imaginäre Fehlerfunktion verwenden. #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Um unser Integral in diese Form zu bekommen, haben wir möglicherweise nur eine quadrierte Variable im Exponenten von # e #, also müssen wir das Quadrat ausfüllen:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Jetzt können wir eine U-Substitution mit einführen # t = u + 1/2 #. Die Ableitung ist gerecht #1#, also müssen wir nichts Besonderes tun, um sich in Bezug auf zu integrieren # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Jetzt können wir alle Ersetzungen rückgängig machen, um Folgendes zu erhalten:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #