Was ist der Durchschnittswert der Funktion f (x) = cos (x / 2) für das Intervall [-4,0]?

Antworten:

# 1 / 2sin (2) #, CA #0.4546487#

Erläuterung:

Der durchschnittliche Wert # c # einer Funktion # f # auf dem Intervall # a, b # ist gegeben durch:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Hier bedeutet dies den Durchschnittswert von:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Lass uns die Substitution verwenden # u = x / 2 #. Das impliziert das # du = 1 / 2dx #. Dann können wir das Integral als solches neu schreiben:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Sich trennen #1/4# in #1/2*1/2# gestattet # 1 / 2dx # im Integral vorhanden zu sein, damit wir leicht die Substitution vornehmen können # 1 / 2dx = du #. Wir müssen auch die Grenzen in Grenzen ändern # u #nicht # x #. Dazu den Strom nehmen # x # Grenzen und stecken Sie sie in # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Dies ist ein allgemeines Integral (beachten Sie das # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Bewertung:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Beachten Sie, dass #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c ca.0.4546487 #

Der Graph der Funktion f (x) = (x + 2) (x + 6) ist unten gezeigt. Welche Aussage zur Funktion trifft zu? Die Funktion ist für alle reellen Werte von x mit x> -4 positiv. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x negativ, wobei –6 <x <–2 ist.

Die Funktion ist für alle reellen Werte von x negativ, wobei –6 <x <–2 ist.

Was ist der Durchschnittswert der Funktion f (x) = (x-1) ^ 2 im Intervall [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Durchschnitt aller Punkte von f (x) in [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1/3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Was ist der Durchschnittswert der Funktion f (t) = te ^ (- t ^ 2) im Intervall [0,5]?

Es ist 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)