Infinitesimalrechnung

(d ^ 2y) / dx ^ 2 = -1 / y ^ 3 Verwenden Sie die implizite Differenzierung: -8y (dy / dx) = 8x dy / dx = (-x) / y (d ^ 2y) / dx ^ 2 = d / dx (dy / dx) (d ^ 2y) / dx ^ 2 = (d ((x) / y)) / dx (d ^ 2y) / dx ^ 2 = {-y - -x (dy / dx )} / y ^ 2 (d ^ 2y) / dx ^ 2 = {(-y ^ 2) / y - x ((- x) / y)} / y ^ 2 (d ^ 2y) / dx ^ 2 = - {y ^ 2 / y + -x ((- x) / y)} / y ^ 2 (d ^ 2y) / dx ^ 2 = - {y ^ 2 / y + x ^ 2 / y} / y ^ 2 (d ^ 2y) / dx ^ 2 = - {y ^ 2 + x ^ 2} / y ^ 3 Aus der ursprünglichen Gleichung ist y ^ 2 + x ^ 2 = 1: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -1 / y ^ 3 Weiterlesen »

Y = x-3 ist die Gleichung Ihrer Tangentenlinie Sie müssen wissen, dass Farbe (rot) (y '= m) (die Steigung) und auch die Gleichung einer Linie Farbe (blau) ist (y = mx + b) y = (x-1) (x ^ 2-2x-1) = x ^ 3-2x ^ 2-xx ^ 2 + 2x + 1 => y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 y '= 3x ^ 2-6x + 1 y '= m => m = 3x ^ 2-6x + 1 und bei x = 2 ist m = 3 (2) ^ 2-6 (2) + 1 = 12-12 + 1 = 1 y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 und bei x = 2 ist y = (2) ^ 3-3 (2) ^ 2 + 2 + 1 = 8-12 + 3 = -1 Nun werden wir Wenn y = -1, m = 1 und x = 2 ist, müssen wir nur feststellen, dass die Gleichung der Linie geschrieben wird durch = mx + b => - 1 = 1 (2 Weiterlesen »

D / (dx) cos ^ 2 (3x) = - 6sin (3x) cos (3x) Mit der Kettenregel können wir cos (3x) als Variable behandeln und cos ^ 2 (3x) in Bezug auf cos (3x) unterscheiden ). Kettenregel: (dy) / (dx) = (dy) / (du) * (du) / (dx) Sei u = cos (3x), dann (du) / (dx) = - 3sin (3x) (dy ) / (du) = d / (du) u ^ 2-> da cos ^ 2 (3x) = (cos (3x)) ^ 2 = u ^ 2 = 2u = 2cos (3x) (dy) / (dx) = 2cos (3x) * - 3sin (3x) = - 6sin (3x) cos (3x) Weiterlesen »

F (x) nimmt bei pi / 6 ab. Um zu prüfen, ob diese Funktion zunimmt oder abnimmt, sollten wir die Farbe (blau) (f '(pi / 6)) berechnen. Wenn die Farbe (rot) (f' (pi / 6) <0 ist dann verringert diese Funktion die Farbe (rot) (f '(pi / 6)> 0, dann nimmt diese Funktion zu. f (x) = cos2x-sin ^ 2x f' (x) = - 2sin2x-2sinxcosx f '(x) = -2sin2x-sin2x f '(x) = - 3sin2x Farbe (blau) (f' (pi / 6)) = - 3sin (2 * (pi / 6)) = - 3sin (pi / 3) = - 3 * sqrt3 / 2 Farbe (rot) (f '(pi / 6) = - 3sqrt3 / 2 <0, dann nimmt diese Funktion ab Weiterlesen »

Sin2xcos2x In dieser Übung müssen wir zwei Eigenschaften anwenden: die Ableitung des Produkts: color (rot) ((uv) '= u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) Die Ableitung von a Macht: Farbe (blau) ((u ^ n (x)) '= n (u) ^ (n-1) (x) u' (x)) In dieser Übung sei: Farbe (braun) (u (x)) = cos ^ 2 (x)) Farbe (blau) (u '(x) = 2cosxcos'x) u' (x) = - 2cosxsinx Kenntnis der trigonometrischen Identität, die besagt: Farbe (grün) (sin2x = 2sinxcosx) u '( x) = - Farbe (grün) (sin2x) Let: Farbe (braun) (v (x) = sin ^ 2 (x)) Farbe (blau) (v '(x) = 2sinxsin'x) v' (x) = 2sinxc Weiterlesen »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) (4x ^ 2 + 9) Produktregel: f' (x) = u'v + v'u f (x) = (4x ^ 2 + 5) * e ^ (x ^ 2) Sei u = 4x ^ 2 + 5 und v = e ^ (x ^ 2) u '= 8x v' = 2xe ^ (x ^ 2): .f '(x) = 8x * e ^ (x ^ 2) + 2xe ^ (x ^ 2) * (4x ^ 2 + 5) = 2xe ^ (x ^ 2) (4 + 4x ^ 2 + 5) = 2xe ^ (x ^ 2) (4x ^ 2) +9) Weiterlesen »

2 / (2x + 1) y = ln (2x + 1) enthält eine Funktion innerhalb einer Funktion, d. H. 2x + 1 innerhalb von ln (u). Wenn Sie u = 2x + 1 lassen, können wir eine Kettenregel anwenden. Kettenregel: (dy) / (dx) = (dy) / (du) * (du) / (dx) (dy) / (du) = d / (du) In (u) = 1 / u (du) / (dx) = d / (dx) 2x + 1 = 2: (dy) / (dx) = 1 / u * 2 = 1 / (2x + 1) * 2 = 2 / (2x + 1) Weiterlesen »

Y = (- 1/4) x + 1 Die Farbe (Rot) (Steigung) der Tangente an der gegebenen Funktion 2-sqrtx ist Farbe (Rot) (f '(4)). Lassen Sie uns Farbe (Rot) berechnen ( f '(4)) f (x) = 2-sqrtx f' (x) = 0-1 / (2sqrtx) = -1 / (2sqrtx) Farbe (rot) (f '(4)) = -1 / ( 2sqrt4) = - 1 / (2 * 2) = color (red) (- 1/4) Da diese Linie die Kurve bei (color (blue) (4,0)) tangiert, durchläuft sie diesen Punkt: Gleichung der Zeile ist: y-color (blau) 0 = color (rot) (- 1/4) (x-color (blau) 4) y = (- 1/4) x + 1 Weiterlesen »

Zuerst müssen Sie f '(x) finden, das ist die Ableitung von f (x). f '(x) = 2x-0 = 2x Sekunde, ersetzen Sie den Wert von x, in diesem Fall x = 1. f '(1) = 2 (1) = 2 Die Steigung der Kurve y = x ^ 2-3 beim x-Wert von 1 ist 2. Weiterlesen »

Sin (x) ^ tanh (x) * (1-tanh ^ 2 (x)) * ln (sin (x)) + "" sin (x) ^ (tanh (x) -1) * tanh (x) * cos (x) "Die Ableitung von" f (x) ^ g (x) "ist eine schwer zu merkende Formel." "Wenn Sie sich nicht gut daran erinnern können, können Sie es wie folgt ableiten:" x ^ y = exp (y) ln (x)) => f (x) ^ g (x) = exp (g (x) * ln (f (x))) => (f (x) ^ g (x)) ' = exp (g (x) * In (f (x))) (g (x) * In (f (x))) (Kettenregel + Ableitung von exp (x)) = exp (g (x ) * In (f (x))) (g '(x)) In (f (x)) + g (x) (f' (x)) / f (x)) = f (x) ^ g ( x) * g '(x) * ln (f (x)) + f (x) ^ (g Weiterlesen »

Y = r / k-Be ^ (- kx) Wir haben: dy / dx = r-ky. Dies ist eine separierbare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir können uns wie folgt neu anordnen 1 / (r-ky) dy / dx = 1 Wir können also die Variablen "trennen", um zu erhalten: int 1 / (r-ky) dy = int dx Die Integration ergibt: -1 / k ln (r-ky) = x + C:. ln (r-ky) = -kx -kC:. ln (r-ky) = -kx + ln A (durch Schreiben von lnA == kC):. ln (r-ky) -lnA = -kx:. ln ((r-ky) / A) = -kx:. (r-ky) / A = e ^ (- kx):. r-ky = Ae ^ (- kx):. ky = r-Ae ^ (- kx):. y = r / k-Be ^ (- kx) Weiterlesen »

Die Lösung dieser Ungleichung macht also wahr (x) in (0.1). Betrachte f (x) = e ^ x-lnx-e / x, wir haben f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 argumentieren, dass f '(x)> 0 für alle reellen x ist und schlussfolgern, dass f (1) = 0 f (1) = e-ln1-e = 0 gilt. Betrachten Sie die Grenze von f, wenn x auf 0 geht. Lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo Mit anderen Worten, wenn Sie f '(x)> 0 zeigen, zeigen Sie, dass die Funktion streng ansteigt, und Wenn f (1) = 0 ist, bedeutet dies, dass f (x) <0 für x <1 ist, da die Funktion immer größer wird. aus der Def Weiterlesen »

Dy / dx = - (2sin (xy) + 2xcos (xy)) / (1-2xcos (xy)) Wir können neu anordnen und vereinfachen, um Folgendes zu erhalten: -2xsin (xy) = yd / dx [y] = d / dx [ -2xsin (xy)] d / dx [y] = d / dx [-2x] sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = -2sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) d / dx [xy] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx) [x] -d / dx [y]) d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx [x] -d / dx [y]) Mit der chqain-Regel erhalten wir das d / dx = dy / dx * d / dy dy / dxd / dy [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (1-dy / dxd / dy [y]) dy / dx = -2sin (xy ) -2xcos (xy) (1-dy / dx) dy Weiterlesen »

"Siehe Erklärung f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h" Hier haben wir f (x) = ln (x) => f' (x) = lim_ {h-> 0} (ln (x + h) - ln (x)) / h = lim_ {h-> 0} ln ((x + h) / x) / h = lim_ {h -> 0} ln (1 + h / x) / h = y => e ^ y = lim_ {h-> 0} (1 + h / x) ^ (1 / h) = e ^ (1 / x) "(Euler-Grenze)" => y = 1 / x => f '(x) = 1 / x Weiterlesen »

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) = 16y am besten als (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad Dreieck, das zeigt, dass es sich um eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, die die charakteristische Gleichung r ^ 2 - 8 r + 16 = 0 aufweist, die wie folgt gelöst werden kann (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 Dies ist eine wiederholte Wurzel, daher ist die allgemeine Lösung in der Form y = (Ax + B) e ^ (4x) dies ist nicht oszillierend und modelliert eine Art von exponentiellem Verhalten, das wirklich vom Wert abhängt von A und B. Man könnte vermuten, dass es Weiterlesen »

I = (e ^ (In (2) x) (3sin (3x) + In (2) cos (3x))) / ((In (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C Wir möchten I lösen = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx Versuchen wir das allgemeinere Problem I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx Wo suchen wir die Lösung I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C Der Trick besteht darin, die Integration durch Teile zweimal zu verwenden. intudv = uv-intvdu Sei u = e ^ (ax) und dv = cos (bx) dx Dann gilt du = ae ^ (ax) dx und v = 1 / bsin (bx) I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx ) dx Anwendung der Teile auf das verbleibende Integral anwenden I_ Weiterlesen »

Dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) Dies ist unangenehm. y = (cos (7x)) ^ x Beginnen Sie, indem Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten verwenden, und stellen Sie den Exponenten x auf den Koeffizienten der rechten Seite: rArr lny = xln (cos (7x)) Unterscheiden Sie nun jede Seite in Bezug auf x die Produktregel auf der rechten Seite. Denken Sie an die implizite Differenzierungsregel: d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx: .1 / y * dy / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x Verwenden der Kettenregel für natürliche Logarithmusfunktionen - d / dx (ln (f (x) Weiterlesen »