Lösen Sie die Differentialgleichung: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Besprechen Sie, welche Art von Differentialgleichung dies ist und wann sie entstehen kann.

Antworten:

#y = (Axt + B) e ^ (4x) #

Erläuterung:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

am besten als geschrieben

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad Dreieck #

was zeigt, dass dies eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

es hat eine charakteristische Gleichung

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

das kann wie folgt gelöst werden

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

Dies ist eine wiederholte Wurzel, daher ist die allgemeine Lösung in Form

#y = (Axt + B) e ^ (4x) #

Dies ist nicht oszillierend und modelliert eine Art exponentielles Verhalten, das wirklich von den Werten von A und B abhängt. Man könnte vermuten, dass dies ein Versuch sein könnte, die Population oder die Interaktion zwischen Raubtier und Beute zu modellieren, aber ich kann wirklich nichts Spezifisches sagen.

Es zeigt Instabilität und das ist alles, was ich wirklich darüber sagen könnte

Antworten:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Erläuterung:

Die Differentialgleichung

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

ist eine lineare homogene konstante Koeffizientengleichung.

Für diese Gleichungen hat die allgemeine Lösung die Struktur

#y = e ^ {lambda x} #

Substitution haben wir

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Hier # e ^ {lambda x} ne 0 # also müssen die Lösungen gehorchen

# Lambda ^ 2-8 Lambda + 16 = (Lambda-4) ^ 2 = 0 #

Lösen erhalten wir

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Wenn sich die Wurzeln wiederholen, # d / (d Lambda) e ^ {Lambda x} # ist auch lösung. Im Falle von # n # Wurzeln wiederholt, werden wir als Lösungen haben:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # zum # i = 1,2, cdots, n #

Um die Anzahl der Anfangsbedingungen aufrechtzuerhalten, schließen wir sie als unabhängige Lösungen ein.

In diesem Fall haben wir

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

was in … resultiert

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Diese Gleichungen treten bei der Modellierung linearer konzentrierter Parametersysteme auf, wie sie in der Theorie der linearen Schaltung oder in der linearen Mechanik zu finden sind. Diese Gleichungen werden normalerweise mit operationellen algebraischen Methoden wie Laplace-Transformationsmethoden behandelt