Wie lautet die Standardgleichung der Parabel mit einem Fokus bei (3,6) und einer Directrix von x = 7?

Antworten:

# x-5 = -1 / 8 (y-6) ^ 2 #

Erläuterung:

Lassen Sie uns zunächst analysieren, in welche Richtung sich die Parabel befindet. Dies beeinflusst, wie unsere Gleichung aussehen wird. Die Direktive ist x = 7, was bedeutet, dass die Linie vertikal ist und die Parabel auch.

In welche Richtung wird es schauen: links oder rechts? Nun, der Fokus liegt links von der Directrix (#3<7#). Der Fokus ist immer in der Parabel enthalten, so dass unsere Parabel vor Ihnen liegt links. Die Formel für eine Parabel, die nach links zeigt, lautet:

# (x-h) = - 1 / (4p) (y-k) ^ 2 #

(Denken Sie daran, dass der Scheitelpunkt ist # (h, k) #)

Lass uns jetzt an unserer Gleichung arbeiten! Wir kennen den Fokus und die Directrix bereits, aber wir brauchen mehr. Sie haben vielleicht den Brief bemerkt # p # in unserer Formel. Sie wissen vielleicht, dass es so ist der Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus und vom Scheitelpunkt zur Directrix. Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt den gleichen Abstand vom Fokus und der Direktlinie hat.

Der Fokus liegt auf #(3,6)#. Die Stelle #(7,6)# existiert auf der directrix. #7-3=4//2=2#. Deshalb, # p = 2 #.

Wie hilft uns das? Wir können damit sowohl den Scheitelpunkt des Graphen als auch den Skalierungsfaktor finden! Der Scheitelpunkt wäre #(5,6)# da es zwei Einheiten von beiden entfernt ist #(3,6)# und #(7,6)#. Unsere Gleichung lautet bisher

# x-5 = -1 / (4p) (y-6) ^ 2 #

Der Skalierungsfaktor dieses Diagramms wird als angezeigt # -1 / (4p) #. Lass uns austauschen # p # für 2:

# -1 / (4p) = -1 / ((4) (2)) = -1 / 8 #

Unsere letzte Gleichung lautet:

# x-5 = -1 / 8 (y-6) ^ 2 #