Was ist die schnellste und einfachste Methode zum Lösen von kubischen und quartischen Gleichungen (ohne Polynomialrechner)?

Antworten:

Es hängt davon ab, ob…

Erläuterung:

Wenn das kubische oder quartische Polynom (oder ein beliebiges Polynom für diese Angelegenheit) rationale Wurzeln hat, kann der Satz der rationalen Wurzeln der schnellste Weg sein, um sie zu finden.

Descartes 'Zeichenregel kann auch dazu beitragen, zu ermitteln, ob eine Polynomialgleichung positive oder negative Wurzeln hat, sodass die Suche eingegrenzt werden kann.

Für eine kubische Gleichung kann es hilfreich sein, die Diskriminante zu bewerten:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Ob #Delta = 0 # dann hat der Würfel eine wiederholte Wurzel.

• Ob #Delta <0 # dann hat der Würfel eine echte Wurzel und zwei nicht-reale komplexe Wurzeln.

• Ob #Delta> 0 # dann hat der Kubus drei echte Wurzeln.

Ob #Delta = 0 # dann teilt sich der Kubikfaktor mit seiner Ableitung, daher sollten Sie in der Lage sein, den gemeinsamen Faktor zu ermitteln, indem Sie das Polynom GCF berechnen.

Ansonsten ist es wahrscheinlich hilfreich, eine Tschirnhaus-Transformation zu verwenden, um a abzuleiten kubisch niedergedrückt ohne quadratische Laufzeit, bevor Sie fortfahren.

Wenn ein Cubic eine echte Wurzel hat und zwei nicht echte, dann würde ich die Cardano-Methode empfehlen.

Wenn es drei echte Wurzeln hat, würde ich empfehlen, stattdessen eine trigonometrische Substitution zu verwenden.

Bei der Quartik kann man durch eine Substitution wie eine deprimierte Quartik ohne Würfelbedingung erhalten #t = x + b / (4a) #.

Wenn das resultierende Quartic auch keinen linearen Term hat, ist es ein quadratischer In # x ^ 2 #. Sie können dies entweder als Quadrat lösen und Quadratwurzeln annehmen oder eine Faktorisierung der Form verwenden:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Daraus können Sie quadratische Faktoren finden, die gelöst werden müssen.

Wenn das resultierende Quartic einen linearen Term hat, kann es in der Form berücksichtigt werden:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Koeffizientenvergleich und Verwendung # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, können Sie eine Kubik in ableiten # a ^ 2 #. Daher können Sie mögliche Werte für finden #ein#, # b # und # c #. Dann finden Sie die Nullstellen der quadratischen Faktoren.

Es gibt andere Sonderfälle, aber das deckt es grob ab.