Wie baue ich das ein?

Antworten:

# I = (e ^ (In (2) x) (3sin (3x) + In (2) cos (3x))) / ((In (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Erläuterung:

Wir wollen lösen

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Lass uns das allgemeinere Problem versuchen

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Wo wir die Lösung suchen

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Der Trick besteht darin, die Integration durch Teile zweimal zu verwenden

# intudv = uv-intvdu #

Lassen # u = e ^ (Axt) # und # dv = cos (bx) dx #

Dann # du = ae ^ (ax) dx # und # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Wenden Sie die Integration durch Teile auf das verbleibende Integral an

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Lassen # u = e ^ (Axt) # und # dv = sin (bx) dx #

Dann # du = ae ^ (ax) dx # und # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Ersetzen Sie dies in das ursprüngliche Integral und lösen Sie nach # I_1 #, Es ist ein bisschen lang, aber wir gehen es Schritt für Schritt vor

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (be ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Für dein Problem # a = ln (2) # und # b = 3 #

# I = (e ^ (In (2) x) (3sin (3x) + In (2) cos (3x))) / ((In (2)) ^ 2 + 9) + C #

Hoffentlich gibt es nicht zu viele Fehler

Siehe die Antwort unten: Wir haben die Lösung mit diskreten Elementen anstelle einer allgemeinen Formulierung gelöst und das Endergebnis nicht wie folgt vereinfacht: