Wie lautet die Gleichung der Linientangente bei x = 1?

Antworten:

#y - F (1) = 2 Quadrat (6) (x - 1) #

# "mit F (1) = 1.935" #

Erläuterung:

#F '(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) #

# = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) #

# => F '(1) = 2 sqrt (6) #

# "Wir suchen also die gerade Linie mit Steigung" 2 sqrt (6) #

# "das durch (1, F (1)) geht." #

# "Das Problem ist, dass wir F (1) nicht kennen, es sei denn, wir berechnen" #

# "das definitive Integral" #

# int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) "" dt #

# "Wir müssen eine spezielle Ersetzung anwenden, um dieses Integral zu lösen." #

# "Wir können mit der Substitution dorthin gelangen" u - t = sqrt (t ^ 2 + t) #

# => (u - t) ^ 2 = t ^ 2 + t => u ^ 2 - 2 ut + Abbruch (t ^ 2) = Abbruch (t ^ 2) + t #

# => t = u ^ 2 / (1 + 2u) #

# => dt / {du} = (2u (u + 1)) / (1 + 2u) ^ 2 #

# => t ^ 2 + t = u ^ 4 / (1 + 2u) ^ 2 + u ^ 2 / (1 + 2u) = ((u (u + 1)) / (1 + 2u)) ^ 2 #

# => sqrt (t ^ 2 + t) = (u (u + 1)) / (1 + 2u) #

#t = 1 => u ^ 2 - 2u - 1 = 0 => u = 1 + sqrt (2) #

#t = 2 => u ^ 2 - 4 u - 2 = 0 => u = 2 + sqrt (6) #

# "(wir nehmen die Lösung mit +, weil" u - t = sqrt (…)> 0 ")" #

#int sqrt (t ^ 2 + t) "dt = 2 in u ^ 2 (u + 1) ^ 2 / (1 + 2u) ^ 3" "#

# = 2 int (u ^ 4 + 2 u ^ 3 + u ^ 2) / (8 u ^ 3 + 12 u ^ 2 + 6 u + 1) du #

# = 2 int (u / 8 + 1/16) "du - 2 int (u ^ 2/2 + u / 2 + 1/16) / (1 + 2u) ^ 3" "# #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 int (A / (1 + 2u) + B / (1 + 2u) ^ 2 + C / (1 + 2u) ^ 3)

# "(Aufteilung in Teilbruchteile)" #

# => A = 1/8, B = 0, C = -1 / 16 #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 In (| 1 + 2u |) / 16 - 2 / (64 (1 + 2u) ^ 2) #

# = (u ^ 2 + u) / 8 - ln (| 1 + 2u |) / 8 - 1 / (32 (1 + 2u) ^ 2) #

# "Wir bewerten zwischen" u = 1 + sqrt (2) "und" u = 2 + sqrt (6) # "

# "und wir erhalten den Wert" #

#F (1) = 1.935 #