Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x / e ^ (x ^ 2) in [1, oo]?

Antworten:

# (1, 1 / e) # ist ein absolutes Maximum in der angegebenen Domäne

Es gibt kein Minimum

Erläuterung:

Die Ableitung ist gegeben durch

#f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

#f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

Kritische Werte treten auf, wenn die Ableitung gleich ist #0# oder ist undefiniert. Die Ableitung wird niemals undefiniert sein (weil # e ^ (x ^ 2) # und # x # sind stetige Funktionen und # e ^ (x ^ 2)! = 0 # für jeden Wert von # x #.

Also wenn #f '(x) = 0 #:

# 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) #

Wie oben erwähnt # e ^ (x ^ 2) # wird niemals gleich sein #0#, so werden unsere nur zwei kritischen Zahlen bei der Lösung von

# 0 = 1 -2x ^ 2 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

#x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) #

Aber keines davon liegt in unserer Domäne. Deshalb, #x = 1 # wird ein Maximum sein (weil #f (x) # konvergiert zu #0# wie #x -> + oo) #.

Es wird kein Minimum geben

Hoffentlich hilft das!

Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 in [0,3]?

Auf [0,3] ist das Maximum 19 (bei x = 3) und das Minimum ist -1 (bei x = 1). Um die absoluten Extremwerte einer (kontinuierlichen) Funktion in einem geschlossenen Intervall zu finden, wissen wir, dass das Extrema entweder an kritischen Zahlen im Intervall oder an den Endpunkten des Intervalls auftreten muss. f (x) = x ^ 3-3x + 1 hat die Ableitung f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ist niemals undefiniert und 3x ^ 2-3 = 0 bei x = + - 1. Da -1 nicht im Intervall [0,3] liegt, wird es verworfen. Die einzige kritische Zahl, die berücksichtigt werden muss, ist 1. f (0) = 1 f (1) = -1 und f (3) = 19. Das Maximum ist also 19 (be

Welcher Satz garantiert die Existenz eines absoluten Maximalwerts und eines absoluten Minimalwerts für f?

Im Allgemeinen kann nicht garantiert werden, dass ein absoluter Maximal- oder Mindestwert von f vorliegt. Wenn f in einem geschlossenen Intervall [a, b] stetig ist (d. H. In einem geschlossenen und begrenzten Intervall), garantiert der Extremwertsatz das Vorhandensein eines absoluten Maximums oder Minimums von f im Intervall [a, b]. .

Wie finden Sie die absoluten maximalen und absoluten Mindestwerte von f für das angegebene Intervall: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) auf [-1, 5]?

Reqd. Extremwerte sind -25/2 und 25/2. Wir verwenden die Substitution t = 5sinx, t in [-1,5]. Beachten Sie, dass diese Substitution zulässig ist, da t in [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1 ist, was gilt. als Bereich der Sünde Spaß. ist [-1,1]. Nun ist f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x, da -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25/2sin2x <= 25/2 rArr-25/2 <= f (t) <= 25/2 Extremitäten sind -25/2 und 25/2.