Wie lautet die Gleichung der Linientangente an f (x) = y = x x sin x 2x bei x = sqrtpi?

Antworten:

Die Gleichung lautet ungefähr:

#y = 3,34x - 0,27 #

Erläuterung:

Um zu beginnen, müssen wir feststellen #f '(x) #, damit wir wissen, was die Steigung ist #f (x) # ist an jedem Punkt, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

mit der Produktregel:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Dies sind Standardderivate:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

So wird unser Derivat:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Das gegebene einfügen # x # Wert, die Steigung bei #sqrt (pi) # ist:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Dies ist die Steigung unserer Linie am Punkt # x = sqrt (pi) #. Wir können dann den y-Achsenabschnitt bestimmen, indem wir Folgendes einstellen:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Dies gibt uns die nicht vereinfachte Gleichung für unsere Linie:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Bei der Lösung für b bekommen wir die ärgerlich komplizierte Formel:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

So endet unsere Linie:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Wenn wir tatsächlich berechnen, was diesen ärgerlich großen Koeffizienten entspricht, erhalten wir die ungefähre Linie:

#y = 3,34x - 0,27 #