Wie findet man die Fläche, die durch die Kurven y = -4sin (x) und y = sin (2x) begrenzt ist, über das geschlossene Intervall von 0 bis Pi?

Antworten:

Bewerten

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Bereich ist: #8#

Erläuterung:

Der Bereich zwischen zwei stetigen Funktionen #f (x) # und #g (x) # Über #x in a, b # ist:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Deshalb müssen wir herausfinden, wann #f (x)> g (x) #

Lassen Sie die Kurven die Funktionen sein:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Wissend, dass #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Teilen durch #2# was positiv ist:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Teilen durch # sinx # ohne das Zeichen umzukehren, da #sinx> 0 # für jeden #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Welches ist unmöglich, da:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Die erste Aussage kann also nicht wahr sein. Deshalb, #f (x) <= g (x) # für jeden #x in 0, π #

Das Integral wird berechnet:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#