Wie unterscheidet man implizit y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Antworten:

Verwenden Sie die Produkt- und Quotientenregeln und machen Sie eine Menge langweiliger Algebra # dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Erläuterung:

Wir werden auf der linken Seite beginnen:

# y ^ 2 / x #

Um die Ableitung davon zu nehmen, müssen wir die Quotientenregel verwenden:

# d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 #

Wir haben # u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # und # v = x-> v '= 1 #, so:

# d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Nun zur rechten Seite:

# x ^ 3-3yx ^ 2 #

Wir können die Summenregel und die Multiplikation einer konstanten Regel verwenden, um dies zu zerlegen:

# d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) #

Die zweite davon erfordert die Produktregel:

# d / dx (uv) = u'v + uv '#

Mit # u = y-> u '= dy / dx # und # v = x ^ 2-> v '= 2x #. So:

# d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Unser Problem lautet nun:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Wir können hinzufügen # x ^ 2dy / dx # zu beiden Seiten und a # dy / dx # um es zu isolieren:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Ich hoffe, Sie mögen Algebra, weil dies eine unangenehme Gleichung ist, die vereinfacht werden muss:

# dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #

Wie unterscheiden Sie implizit 4 = y- (x-e ^ y) / (y-x)?

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