Antworten:
Beginnen mit
# -1 = xy ^ 2 + x ^ 2y - e ^ y - sec (xy) #
Lassen Sie uns den Sekanten durch einen Cosinus ersetzen.
# -1 = xy ^ 2 + x ^ 2y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Jetzt nehmen wir die Ableitung für x auf BEIDE SEITEN!
# d / dx -1 = d / dx (xy ^ 2 + x ^ 2y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Die Ableitung einer Konstanten ist Null und die Ableitung ist linear!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Jetzt verwenden wir die Produktregel nur für die ersten beiden Begriffe!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nächstes viel, viel Spaß mit der Kettenregel! Achten Sie auf das letzte Semester!
(auch die einfachen x-Derivate)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy * dy / dx} - {d / dye ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Einige dieser y-Derivate, xy-Derivate und cos (xy) -Derivate führen die Produkt- und Kettenregel im letzten Teil des letzten Terms noch einmal durch.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dxy + x dy / dy dy / dx) #
Etwas abspülen und alle Ableitungen beenden
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Trennen Sie jetzt in Term mit # dx / dy # und ohne
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Bring alles ohne aus # dy / dx # auf einer Seite und Sammlung wie Begriffe auf der anderen Seite
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Teilen Sie es, um zu finden # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Das war sehr lange!
Erläuterung:
Ich habe eine sehr lange Erklärung mit einem einfachen Beispiel erhalten, weil implizite Differenzierung schwierig sein kann und die Kettenregel sehr sehr wichtig ist.
Sie müssen ungefähr drei BIG-Regeln für Berechnungen und drei spezifische Funktionsableitungen verwenden.
1) Die Linearität der Ableitung.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Die Produktregel.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Bei weitem das wichtigste Konzept der impliziten Differenzierung ist
die Kettenregel. Bei zusammengesetzten Funktionen können Funktionen anderer Funktionen #f (u (x)) # wir haben, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Sie können damit weitermachen
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, und weiter und weiter und weiter. Hinweis # dx / dx = 1 #.
Beispiel: Wenn Sie eine Funktion haben #f (u) # woher # u # ist eine Funktion von # x #. dh #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Hier #f (u) = sqrt (u) # und #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # erinnern # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Ausdrücke für bestimmte Funktionstypen.
A) Wie kann man die Ableitung von Leistungsfunktionen nehmen, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Wie man die Ableitung von nimmt # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- langweilig wie?
C) Wie ist die Ableitung von zu nehmen? # cos (x) # da # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Der Schlüssel zur impliziten Differenzierung ist die Verwendung der Kettenregel, um die Ableitung von x und der Funktion von x und y wie ein Kreis zu bestimmen.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
