Bewerten Sie das unbestimmte Integral: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Antworten:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Erläuterung:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Fülle das Quadrat aus, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Ersatz # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Ersatz # u = 5sin (v) # und # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Vereinfachen, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Verfeinern, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Nimm die Konstante heraus, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Anwenden von Doppelwinkelformeln

# 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Nimm die Konstante heraus, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrieren, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Ersatz zurück # v = arcsin (u / 5) # und # u = x-5 #

# 25/2 (Arcusin ((x-5) / 5) + Abbruch (1 / 2sin) (Abbruch (2arcsin) ((x-5) / 5))) + c #

Vereinfachen, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Verfeinern, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, woher # c # ist die Konstante der Integration.

Tadaa: D

Antworten:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Erläuterung:

Was ist #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Man beachte, dass der Bereich der zu integrierenden Funktion derjenige ist, in dem das innere Quadrat positiv ist, d. #x in 0, 10 #

Dieser Ausdruck kann über Substitutionen integriert werden. Ein möglicher Integrationsweg stellt sich zwar nicht unmittelbar dar, aber wenn wir das Quadrat konkurrieren, kann eine trigonometrische Substitution durchgeführt werden:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Wir stellen fest, dass dies die klassische trigonometrische Substitutionsform ist, d # x # Funktion.

Um das Lineare loszuwerden, lassen wir #u = x-5 #was gibt # du = dx #, so dass wir das obige Integral neu schreiben können als:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Nun zur zweiten Auswechslung #u = 5sintheta #, die das Integral ändert in:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (wir können die absoluten Wert Klammern ignorieren)

Natürlich die # dx # hilft nicht, also differenzieren wir die Substitutionsgleichung, um zu erhalten: #du = 5costheta d theta #so wird das Integral:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Jetzt können wir eine Doppelwinkelformel verwenden, um die Integration vorzunehmen # cos ^ 2 theta # einfacher:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Das Integral wird also:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 Theta) + Theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (mit einer Doppelwinkelformel)

Jetzt, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Daher, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Und, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + Lichtbogen ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #