Betrachten Sie drei gleiche Kreise mit dem Radius r innerhalb eines gegebenen Kreises mit dem Radius R, um die anderen beiden und den gegebenen Kreis wie in der Abbildung gezeigt zu berühren. Dann ist die Fläche des schattierten Bereichs gleich?

Wir können einen Ausdruck für die Fläche des schattierten Bereichs wie folgt bilden:

#A_ "schattiert" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

woher #A_ "Center" # ist die Fläche des kleinen Abschnitts zwischen den drei kleineren Kreisen.

Um die Fläche zu ermitteln, können wir ein Dreieck zeichnen, indem wir die Zentren der drei kleineren weißen Kreise verbinden. Da hat jeder Kreis einen Radius von # r #ist die Länge jeder Seite des Dreiecks # 2r # und das Dreieck ist gleichseitig, also Winkel von # 60 ^ o # jeder.

Wir können also sagen, dass der Winkel des mittleren Bereichs die Fläche dieses Dreiecks minus den drei Kreissektoren ist. Die Höhe des Dreiecks ist einfach #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, also ist die Fläche des Dreiecks # 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Die Fläche der drei Kreissegmente innerhalb dieses Dreiecks ist im Wesentlichen die gleiche Fläche wie die Hälfte eines Kreises (aufgrund von Winkeln von # 60 ^ o # jeweils oder #1/6# ein Kreis, so können wir auf die Gesamtfläche dieser Sektoren schließen # 1/2 pir ^ 2 #.

Schließlich können wir den Bereich der mittleren Region ausrechnen #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Zurück zu unserem ursprünglichen Ausdruck ist also die Fläche der schattierten Region

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Antworten:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Erläuterung:

Geben Sie den weißen Kreisen einen Radius von # r = 1 #. Die Mittelpunkte bilden ein gleichseitiges Dreieck #2#. Jeder Median / Höhe ist #sqrt {3} # also ist der Abstand von einem Scheitelpunkt zum Schwerpunkt # 2/3 sqrt {3} #.

Der Schwerpunkt ist der Mittelpunkt des großen Kreises, also der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des großen Kreises und dem Mittelpunkt des kleinen Kreises. Wir fügen einen kleinen Radius hinzu # r = 1 # bekommen

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Der Bereich, den wir suchen, ist der Bereich des großen Kreises, weniger das gleichseitige Dreieck und der Rest #5/6# von jedem kleinen Kreis.

#A = piR ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Wir skalieren nach # r ^ 2 # Im Algemeinen.