Was sind die globalen und lokalen Extrema von f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Antworten:

#f (x) # hat ein absolutes Minimum an #(-1. 0)#

#f (x) # hat ein lokales Maximum bei # (- 3, 4e ^ -3) #

Erläuterung:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Produktregel

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Für absolute oder lokale Extreme: #f '(x) = 0 #

Das ist wo: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Schon seit # e ^ x> 0 für alle x in RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 oder -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Produktregel

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Wieder da # e ^ x> 0 # Wir müssen nur das Zeichen von testen # (x ^ 2 + 6x + 7) #

an unseren Extrempunkten, um zu bestimmen, ob der Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # ist ein Minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # ist ein Maximum

Betrachtet man den Graphen von #f (x) # Darunter ist klar, dass #f (-3) # ist ein lokales Maximum und #f (-1) # ist ein absolutes Minimum.

Graph {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Zum Schluss werden die Extrempunkte bewertet:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

und

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #