Was sind die globalen und lokalen Extrema von f (x) = x ^ 2 (2 - x)?

Antworten:

#(0,0)# ist ein lokales Minimum und #(4/3,32/27)# ist ein lokales Maximum.

Es gibt keine globalen Extreme.

Erläuterung:

Multiplizieren Sie zuerst die Klammern, um die Unterscheidung zu erleichtern und die Funktion in das Formular zu übernehmen

# y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 #.

Bei der Ableitung treten nun lokale oder relative Extrema oder Wendepunkte auf #f '(x) = 0 #, das ist wenn # 4x-3x ^ 2 = 0 #, # => x (4-3x) = 0 #

# => x = 0 oder x = 4/3 #.

# daher f (0) = 0 (2-0) = 0 und f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27 #.

Seit der zweiten Ableitung #f '' (x) = 4-6x # hat die Werte von

#f '' (0) = 4> 0 und f '' (4/3) = - 4 <0 #, das impliziert das #(0,0)# ist ein lokales Minimum und #(4/3,32/27)# ist ein lokales Maximum.

Das globale oder absolute Minimum ist # -oo # und das globale Maximum ist # oo #, da die Funktion unbegrenzt ist.

Der Graph der Funktion überprüft alle diese Berechnungen:

Graph {x ^ 2 (2-x) -7,9, 7,9, -3,95, 3,95}