Ein Dreieck hat die Seiten A, B und C. Die Seiten A und B haben Längen von 2 bzw. 4. Der Winkel zwischen A und C beträgt (7 pi) / 24 und der Winkel zwischen B und C beträgt (5 pi) / 8. Was ist die Fläche des Dreiecks?

Antworten:

Die Gegend ist # sqrt {6} - sqrt {2} # quadratische Einheiten, etwa #1.035#.

Erläuterung:

Die Fläche ist die Hälfte des Produkts von zwei Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

Hier haben wir zwei Seiten, aber nicht den Winkel zwischen ihnen, wir haben die andere zwei winkel stattdessen. Bestimmen Sie zuerst den fehlenden Winkel, indem Sie feststellen, dass die Summe aller drei Winkel ist #Pi# Radiant:

# theta = pi- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Dann ist die Fläche des Dreiecks

Bereich # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Wir haben zu berechnen # sin (pi / {12}) #. Dies kann mit der Formel für den Sinus einer Differenz erreicht werden:

#sin (pi / 12) = sin (Farbe (blau) (pi / 4) -Farbe (Gold) (pi / 6)) #

# = sin (Farbe (blau) (pi / 4)) cos (Farbe (Gold) (pi / 6)) - cos (Farbe (blau) (pi / 4)) sin (Farbe (Gold) (pi / 6)) #

# = ({ sqrt {2}} / 2) ({ sqrt {3}} / 2) - ({ sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = { sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Dann ist die Fläche gegeben durch:

Bereich # = (1/2) (2) (4) ({ sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = sqrt {6} - sqrt {2} #.