Ein Dreieck hat die Seiten A, B und C. Die Seiten A und B haben Längen von 10 bzw. 8. Der Winkel zwischen A und C beträgt (13 pi) / 24 und der Winkel zwischen B und C beträgt (pi) 24. Was ist die Fläche des Dreiecks?

Antworten:

Da Dreieckswinkel zu addieren #Pi# Wir können den Winkel zwischen den gegebenen Seiten herausfinden und die Flächenformel ergibt

#A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #.

Erläuterung:

Es hilft, wenn wir uns alle an die Konvention von Kleinbuchstaben halten #ABC# und Großbuchstaben, die sich gegen Eckpunkte richten #ABC#. Lass uns das hier machen.

Die Fläche eines Dreiecks ist # A = 1/2 a b sin C # woher # C # ist der Winkel zwischen #ein# und # b #.

Wir haben # B = frac {13 pi} {24} # und (denke, es ist ein Tippfehler in der Frage) # A = pi / 24 #.

Da addieren sich Dreieckwinkel zu # 180 ^ circ # aka #Pi# wir bekommen

#C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} {12} #

# frac {5pi} {12} # ist # 75 ^ Zirk. # Wir bekommen seinen Sinus mit der Summenwinkelformel:

# sin 75 ^ circ = sin (30 + 45) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 #

# = (frac 1 2 + frac sqrt {3} 2) sqrt {2} / 2 #

# = frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

Also ist unsere Gegend

#A = frac 1 2 a b sin C = frac 1 2 (10) (8) frac 1 4 (sqrt (2) + sqrt (6)) #

#A = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) #

Nehmen Sie die genaue Antwort mit einem Salzkorn, denn es ist nicht klar, dass wir richtig verstanden haben, was der Fragesteller mit dem Winkel zwischen den beiden meinte # B # und # C #.