Antworten:
# x ^ 3-3x + 6 # hat lokale Extrema bei # x = -1 # und # x = 1 #
Erläuterung:
Die lokalen Extrema einer Funktion treten an Stellen auf, an denen sich die erste Ableitung der Funktion befindet #0# und das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert sich.
Das ist für # x # woher #f '(x) = 0 # und entweder #f '(x-varepsilon) <= 0 und f' (x + varepsilon)> = 0 # (lokales Minimum) oder
#f '(x-varepsilon)> = 0 und f' (x + varepsilon) <= 0 # (lokales Maximum)
Um die lokalen Extrema zu finden, müssen wir die Punkte finden, wo #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x - 1) #
so
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Blick auf das Zeichen von # f '# wir bekommen
# {(f '(x)> 0 wenn x <-1), (f' (x) <0 wenn -1 <x <1), (f '(x)> 0 falls x> 1):} #
Also das Zeichen von # f '# ändert sich bei jedem #x = -1 # und #x = 1 # Das heißt, an beiden Punkten gibt es ein lokales Extremum.
Hinweis: Aus dem Zeichenwechsel können wir weiter erkennen, dass es ein lokales Maximum bei gibt #x = -1 # und ein lokales Minimum bei #x = 1 #.
