Für welche Werte von x ist f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkav oder konvex?

Antworten:

Finden Sie die zweite Ableitung und prüfen Sie das Vorzeichen. Es ist konvex, wenn es positiv ist, und konkav, wenn es negativ ist.

Konkav für:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konvex für:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Erläuterung:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Erste Ableitung:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Nehmen # e ^ -x # als gemeinsamer Faktor zur Vereinfachung der nächsten Ableitung:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Zweite Ableitung:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Jetzt müssen wir das Zeichen studieren. Wir können das Zeichen wechseln, um das Quadrat einfach zu lösen:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Um aus dem Quadrat ein Produkt zu machen:

#x_ (1,2) = (- b + - qrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + - qrt (8)) / (2 * 1) = 2 + - qrt (2) #

Deshalb:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Ein Wert von # x # zwischen diesen beiden Lösungen ergibt sich ein negatives quadratisches Vorzeichen, während jeder andere Wert von # x # macht es positiv.
• Beliebiger Wert von # x # macht # e ^ -x # positiv.
• Das negative Vorzeichen am Anfang der Funktion kehrt alle Vorzeichen um.

Deshalb, #f '' (x) # ist:

Positiv, daher konkav für:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativ, daher konvex für:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #