Für welche Werte von x ist f (x) = (- 2x) / (x-1) konkav oder konvex?

Antworten:

Studieren Sie das Zeichen der 2. Ableitung.

Zum #x <1 # die Funktion ist konkav.

Zum #x> 1 # Die Funktion ist konvex.

Erläuterung:

Sie müssen die Krümmung studieren, indem Sie die 2. Ableitung finden.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

Die 1. Ableitung:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

Die 2. Ableitung:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Jetzt das Zeichen von #f '' (x) # muss studiert werden. Der Nenner ist positiv, wenn:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (x-1) ^ 3 <0 #

# (x-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Zum #x <1 # die Funktion ist konkav.

Zum #x> 1 # Die Funktion ist konvex.

Hinweis: die Stelle # x = 1 # wurde wegen der Funktion ausgeschlossen #f (x) # kann nicht für definiert werden # x = 1 #, da der Denumirator 0 werden würde.

Hier ist eine Grafik, die Sie mit Ihren Augen sehen können:

Graph {(- 2x) / (x-1) -14.08, 17.95, -7.36, 8.66}