Was ist das Antiderivat von 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Antworten:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Erläuterung:

Also hier haben wir das Integral:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Und die Form des quadratischen Kehrwerts scheint darauf hinzudeuten, dass die trigonometrische Substitution hier funktionieren würde. Füllen Sie also zuerst das Quadrat aus, um Folgendes zu erhalten:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Dann wenden Sie die Vertretung an #u = x-1 # um das lineare zu entfernen:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

So können wir Variablen ohne unerwünschte Nebenwirkungen sicher ändern:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Dies ist nun die ideale Form, um eine trigonometrische Substitution durchzuführen. # u ^ 2 + 1 # schlägt die pythagoräische Identität vor # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, also wenden wir die Substitution an #u = Tantheta # um den Nenner zu vereinfachen:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Das Integral wird also:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Jetzt verwenden wir die Doppelwinkelformel für # cos # Um dieses Gegenmittel leichter handhabbar zu machen:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Dann füge das in das Integral ein:

# 1/2 int cos (2 Theta) + 1 d Theta #

# = 1/2 (Theta + 1/2 Sin (2 Theta)) + c # (und öffnen Sie dies mit der Doppelwinkelformel für #Sünde#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Jetzt, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Zum Schluss kommen wir zum Punkt:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #