Was ist die kleinste ganze Zahl n, so dass n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Antworten:

# n = 8075 #

Erläuterung:

Lassen #v_p (k) # sei die Vielfalt von # p # als ein Faktor von # k #. Das ist, #v_p (k) # ist die größte ganze Zahl # p ^ (v_p (k)) | k #.

Beobachtungen:

Für alle #k in ZZ ^ + # und # p # Prime haben wir #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

(Dies kann leicht durch Induktion nachgewiesen werden)
Für jede ganze Zahl #k> 1 #, wir haben # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

(Dies ist intuitiv, als Vielfache von #2# häufiger als ein Vielfaches von äquivalenten Potenzen #5#und kann mit einem ähnlichen Argument rigoros bewiesen werden)
Zum #j, k in ZZ ^ + #, wir haben #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # für jeden Hauptdivisor # p # von # j #.

Unser Ziel ist es, die kleinste ganze Zahl zu finden # n # so dass # 10 ^ 2016 | n! #. Wie # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #durch die dritte Beobachtung brauchen wir das nur zu bestätigen # 2016 <= v_2 (n!) # und # 2016 <= v_5 (n!) #. Die zweite Beobachtung bedeutet, dass letztere die erstere impliziert. Daher reicht es aus, die kleinste ganze Zahl zu finden # n # so dass # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Finden # n # Wir werden eine Beobachtung machen, die es uns erlaubt zu berechnen # v_5 (5 ^ k!) #.

Zwischen #1# und # 5 ^ k #, es gibt # 5 ^ k / 5 # Vielfache von #5#, die jeweils mindestens einen Beitrag leisten #1# auf die Summe #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Es gibt auch # 5 ^ k / 25 # Vielfache von #25#, die jeweils einen zusätzlichen Beitrag leisten #1# auf die Summe nach der Anfangszählung. Wir können auf diese Weise vorgehen, bis wir ein einziges Vielfaches von erreichen # 5 ^ k # (welches ist # 5 ^ k # selbst), was dazu beigetragen hat # k # mal zur summe. Wir berechnen die Summe auf diese Weise

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

So finden wir das # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Zum Schluss werden wir finden # n # so dass # v_5 (n!) = 2016 #. Wenn wir rechnen # v_5 (5 ^ k!) # für mehrere Werte von # k #, wir finden

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Wie #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # braucht zwei "Blöcke" von #5^5#, zwei von #5^4#vier von #5^3#und drei davon #5^2#. So bekommen wir

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Ein Computer kann das schnell überprüfen #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Somit #10^2016 | 8075!#, und wie #5|8075!# mit vielfalt #2016# und #5|8075#Es ist klar, dass kein geringerer Wert ausreicht.

Was sind drei aufeinander folgende ungerade ganze Zahlen, so dass die Summe der mittleren und größten ganzen Zahl 21 größer ist als die kleinste ganze Zahl?

Die drei aufeinander folgenden ungeraden Ganzzahlen sind 15, 17 und 19. Bei Problemen mit "aufeinander folgenden geraden (oder ungeraden) Ziffern" lohnt es sich, "aufeinanderfolgende" Ziffern genau zu beschreiben. 2x ist die Definition einer geraden Zahl (einer durch 2 teilbaren Zahl). Das bedeutet, dass (2x + 1) die Definition einer ungeraden Zahl ist. Also hier sind "drei aufeinander folgende ungerade Zahlen" in einer Weise geschrieben, die weitaus besser als x, y, z oder x, x + 2, x + 4 ist. 2x + 1larr kleinste ganze Zahl (die erste ungerade Zahl) 2x + 3larr mittlere ganze Zahl ( die zweite

Was ist eine reelle Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine rationale Zahl und eine irrationale Zahl?

Erklärung unten Rational Zahlen gibt es in drei verschiedenen Formen. ganze Zahlen, Brüche und terminierende oder wiederkehrende Dezimalzahlen wie 1/3. Irrationale Zahlen sind ziemlich "unordentlich". Sie können nicht als Brüche geschrieben werden, sie sind niemals endende Dezimalzahlen. Ein Beispiel dafür ist der Wert von π. Eine ganze Zahl kann als ganze Zahl bezeichnet werden und ist entweder eine positive oder negative Zahl oder Null. Ein Beispiel hierfür ist 0, 1 und -365.

Ist sqrt21 eine reelle Zahl, eine rationale Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine irrationale Zahl?

Es ist eine irrationale Zahl und daher real. Lassen Sie uns zuerst beweisen, dass sqrt (21) eine reelle Zahl ist, tatsächlich ist die Quadratwurzel aller positiven reellen Zahlen reell. Wenn x eine reelle Zahl ist, definieren wir für die positiven Zahlen sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Das bedeutet, dass wir alle reellen Zahlen y so betrachten, dass y ^ 2 <= x ist, und die kleinste reelle Zahl nehmen, die größer als alle y ist, das sogenannte Supremum. Bei negativen Zahlen gibt es diese y nicht, da bei allen reellen Zahlen das Quadrat dieser Zahl eine positive Zahl ergibt und alle