Ist sqrt21 eine reelle Zahl, eine rationale Zahl, eine ganze Zahl, eine ganze Zahl, eine irrationale Zahl?

Antworten:

Es ist eine irrationale Zahl und daher real.

Erläuterung:

Lassen Sie uns das zuerst beweisen #sqrt (21) # ist eine reelle Zahl, tatsächlich ist die Quadratwurzel aller positiven reellen Zahlen reell. Ob # x # Ist eine reelle Zahl, dann definieren wir die positiven Zahlen #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Das bedeutet, dass wir alle reellen Zahlen betrachten # y # so dass # y ^ 2 <= x # und nehmen Sie die kleinste reelle Zahl, die größer ist als alle diese # y #s, das sogenannte Supremum. Bei negativen Zahlen diese # y #Es gibt keine, da für alle reellen Zahlen das Quadrat dieser Zahl eine positive Zahl ergibt und alle positiven Zahlen größer als negative Zahlen sind.

Für alle positiven Zahlen gibt es immer einige # y # das passt zur Bedingung # y ^ 2 <= x #nämlich #0#. Darüber hinaus gibt es eine obere Schranke an diese Zahlen, nämlich # x + 1 #seit da # 0 <= y <1 #, dann # x + 1> y #, ob #y> = 1 #, dann #y <= y ^ 2 <= x #, so # x + 1> y #. Wir können zeigen, dass es für jede gebundene nicht leere Menge reeller Zahlen immer eine eindeutige reelle Zahl gibt, die aufgrund der sogenannten Vollständigkeit von als Supremum fungiert # RR #. Also für alle positiven reellen Zahlen # x # da ist ein echtes #sqrt (x) #. Das können wir auch in diesem Fall zeigen #sqrt (x) ^ 2 = x #Aber wenn Sie nicht wollen, werde ich das hier nicht beweisen. Zum Schluss bemerken wir das #sqrt (x)> = 0 #, schon seit #0# ist eine Zahl, die der Bedingung entspricht, wie zuvor angegeben.

Nun zur Irrationalität von #sqrt (21) #. Wenn es nicht irrational (so rational) wäre, könnten wir es als schreiben #sqrt (21) = a / b # mit #ein# und # b # ganze Zahlen und # a / b # so weit wie möglich vereinfacht, das heißt #ein# und # b # habe keinen gemeinsamen Divisor, außer für #1#. Das heißt jetzt # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Jetzt verwenden wir etwas, das als Primfaktorisierung der natürlichen Zahlen bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass wir jede positive ganze Zahl als ein einzigartiges Produkt von Primzahlen abschreiben können. Zum #21# das ist #3*7# und für #ein# und # b # Dies ist ein beliebiges Produkt von Primzahlen # a = a_1 * … * a_n # und # b = b_1 * … * b_m #. Die Tatsache, dass der einzige gemeinsame Teiler von #ein# und # b # ist #1# entspricht der Tatsache, dass #ein# und # b # Es gibt keine Primzahlen in ihrer Faktorisierung # a_i # und # b_j # so dass # a_i = b_j #. Das bedeutet, dass # a ^ 2 # und # b ^ 2 # auch keine Primzahlen teilen, da # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # und # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #daher der einzige gemeinsame Teiler von # a ^ 2 # und # b ^ 2 # ist #1#. Schon seit # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, das heisst # b ^ 2 = 1 #, so # b = 1 #. Deshalb #sqrt (21) = a #. Beachten Sie, dass dies nur unter der Annahme gilt, dass #sqrt (21) # ist rational.

Nun könnten wir natürlich alle positiven Zahlen kleiner als durchlaufen #21# und überprüfen, ob das Quadrieren sie gibt #21#, aber das ist eine langweilige Methode. Um es interessanter zu machen, wenden wir uns wieder unseren Primzahlen zu. Wir wissen das # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # und #21=3*7#, so # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Auf der linken Seite tritt jede Primzahl nur einmal auf, auf der rechten Hand tritt sie mindestens zweimal und immer in gerader Anzahl auf (wenn # a_1 = a_n # es würde zum Beispiel mindestens viermal vorkommen). Aber wie gesagt, diese erstklassigen Faktoren sind einzigartig, daher kann dies nicht richtig sein. Deshalb # 21nea ^ 2 #, so #anesqrt (21) #was bedeutet, dass unsere frühere Annahme von #sqrt (21) # rational zu sein, erweist sich daher als falsch #sqrt (21) # ist irrational.

Beachten Sie, dass dasselbe Argument für jede positive ganze Zahl gilt # x # mit einer Primfaktorisierung, bei der einer der Primzahlen eine ungerade Anzahl von Malen erscheint, da das Quadrat einer ganzen Zahl immer alle seine Primfaktoren gleich häufig erscheinen lässt. Daraus schließen wir, dass wenn # x # ist eine positive ganze Zahl (#x inNN #) hat einen Primfaktor, der nur ungleichmäßig auftritt, #sqrt (x) # wird irrational sein.

Ich bin mir bewusst, dass dieser Beweis ein bisschen lang erscheinen mag, er verwendet jedoch wichtige Begriffe aus der Mathematik. Wahrscheinlich sind diese Begründungen in keinem Gymnasium enthalten (ich bin nicht zu 100% sicher, ich kenne den Lehrplan der einzelnen High Schools der Welt nicht), aber für echte Mathematiker ist das Prüfen von Zeugnissen eines der wichtigste Tätigkeiten, die sie tun. Deshalb wollte ich Ihnen zeigen, welche Art von Mathematik hinter der Wurzel der Dinge steht. Was Sie davon nehmen müssen, ist das in der Tat #sqrt (21) # ist eine irrationale Zahl.